Equa diff

[Rockleader]

Re/bonjour

j'essaie ici de me faire un récapitulatif pour calculer les solutions des équations différentielle, j'aimerais arriver à quelque chose de clair avant 15h30 si possible :)


Tout d'abord premier ordre

Équation de a forme ay'+by = c (c pouvant être une constante ou une variable je pense pas que cela change le problème).

La solution est de la forme Solution homogène + solution particulière


Yh de la forme ay' = -by
<=> y'/y = -b/a
On reconnait la forme du ln ==> (ln(x))' = -b/a
donc Sh de la forme e^(-b/a) x


On cherche ensuite la solution particulière, c'est là que j'ai un petit trou.





Pour une équation du second ordre type

ay"+by'+cy = d

Par la méthode des ressemblances, on pose y = e^rx

Ce qui nous donnerait une solution homogène de la forme

(ar²+br + 1)e^rx = 0

Il suffit alors de chercher les solutions du trinome ar²+br+1 = 0 complexes ou réelles, afin d'obtenir Sh qui vaudra + ou - racine du trinome.



ET a nouveau à ce moment là il faut trouver la solution particulière et je bloque encore à ce moment là...








EN gros j'ai surtout besoin de savoir comment trouver les solutions particulières, c'est surtout ça qui me pose problème.
J'arrive à comprendre plus ou moins en voyant les correction mais je voudrais savoir ce qu'on fait d'un point de vie mathématique pour trouver la solution, et non seulement la donner comme le conseille mon prof de physique. Si je ne démontre pas sur ma copie je ne comprends pas ce que je fais...


Merci de votre aide.

[Nightmare]

Hello,

on a pas vraiment de méthode pour trouver des solutions particulières dans le cas général, mais dans les cas classiques on sait où les chercher.

Pour tes deux équations, il y a une fonction constante qui marche par exemple.

Dans le cas où tes coefficients sont des fonctions de la variable, alors la tête des formes particulière va dépendre d'eux.

Cependant, pour certaines équations classiques, comme les linéaires, on a des méthodes de calcul des solutions particulières, par exemple la méthode de [url="http://fr.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9thode_de_variation_des_constantes"]variation des constantes[/url]