Equa diff et geodesiques

[Ted]

Bonjour, je suis lecteur passif de ce forum depuis un moment et cette fois j'aurais besoin d'eclaircissement.
Je travaille sur un memoire portant sur le demi plan de Poincare vu comme surface de Riemann.
Un paragraphe est consacré à la recherche des géodésiques par la dérivée covariante.
Les livres sur lesquels je suis penché me donnent à peu près ça:
dans le demi plan où y>0 , on prend une courbe c(t)=(u(t),v(t))
alors c est une géodésique si et seulement si les deux equations suivantes sont vérifiés

(1) u'' - 2 (u'v')/v =0

(2) v'' +2 [(u')^2 -(v')^2]/v =0

jusque là aucun problème: c'est les équations d'Euler.
Le premier souci est dans la résolution.
bien sur v different de 0 donc aucun soucis pour diviser; mais dans les deux ouvrages que j'ai devant les yeux on suppose allegrement que v' est aussi different de 0.

Par exemple dans le cas ou u est constant on écrit que (2) devient v''/v' = v'/v .
Et on fait le meme genre de chose si u n'est pas constant.

Le deuxième soucis:
Je veux bien que dans le cas u cst, v'=0 implique que le vecteur tangent de c soit nul et que ça puisse poser des problème (quoique...)
Mais dans le deuxieme cas les solutions sont bien connues et ce sont les demi cercles dont le centre est sur l'axe y=0. Il y a donc un point ou v' s'annule.

J'aimerais donc que quelqu'un puisse m'expliquer ce probleme d'équa diff, voire me donner le nom de ce type d'équa diff (je ne suis pas tres au fait de la question) , genre "c'est une equation differentielle du x ieme ordre non linéaire" pour que je puisse rechercher efficacement une référence.

Dans le cas ou quelqu'un pourrait me donner une reponse simple, je précise que cette demande est due au fait que j'ai besoin de connaitre TOUTES les géodésiques du demi plan et de le faire apparaitre clairement dans ma demonstration. J'anticipe donc la question "Et si v'=0, cela ne nous donnera-t-il pas d'autres géodésiques?"

Merci d'avance.