par Cambacérès » 28 Sep 2021, 23:39
Merci beaucoup pour cette réponse, oui je pensais aussi aux vecteurs canoniques mais il semble qu'il y ait une subtilité.
Voici l'énoncé :
Soit f une application linéaire de R4 dans R3 tel que
f(u)=f(x,y,z,t)=(x-y+z,2x-y+3t,-2x+2y-2z)
a)Montrer que f est une application linéaire de R4 dans R3
J'ai montré que f(u+v)=f(u)+f(v) et f(a u)=a f(u).
b) Déterminer Ker de f. En donner une base et une dimension
x(1,0,-1,-2/3) et y(0,1,1,1/3)
Dim Ker(f)=2
c)Quelle est la dimension de f(R4)?
Comme Dim ker(f)=2, on a Dim(f)=Dim(R4)-Dim Ker(f) qui fait 2, d'où Dim(f)=2.
d) Déterminer une base f(R4)
Je bloque. Un copain a trouvé (1,2,-2),(-1,-1,2),(1,0,-2)(0,3,0).
Je ne vois pas comment il a fait.
e)f est elle injective, bijective, surjective
Comme Ker(f) différent de 0, f n'est pas injective
Comme Dim f(R4)=2 et qu'elle est differente de Dim(R4)=4,
f n'est pas surjective. Je ne suis pas sûr que ce soit bien justifié.
Comme f n'est ni injective ni surjective elle n'est pas bijective.
f)Calculer la matrice A représentant f dans les bases canoniques de R4 et R3
Je prends les 4 vecteurs que mon copain a trouvé à la question d) sur la base de f(R4) et je les mets en colonne. Le seul problème c'est que je ne sais pas comment il a trouvé son résultat