Montrer que Ker(P(f))+Ker(Q(f))=Ker(PPCM(P,Q)(f))

[joce]

Bonjour,

J'ai l'exercice suivant à résoudre et j'ai du mal à avancer.

On se place en dimension finie, on a P et Q deux polynômes, M=PPCM(P,Q), et f un endomorphisme de E.

On me demande de démontrer que :

Ker(P(f))+Ker(Q(f))=Ker(M(f))

J'ai réussi sans souci l'inclusion Ker(P(f))+Ker(Q(f)) dans Ker(M(f)) mais j'ai du mal pour l'autre inclusion.

Faut-il passer par une analyse-synthèse ? Ça me semble le plus propice à ce genre de question dans la mesure où ça ferait apparaître une décomposition de Ker(M(f)). Mais je n'arrive pas à avancer. J'avais en tête l'utilisation de projecteurs (justement pour faire apparaître cette décomposition mais je ne vois pas comment faire).

Peut-être pouvons-nous utiliser PGCD(P,Q).PPCM(P,Q)=P.Q et/ou PGCD(P,Q)=U.P+V.Q ?

Autrement, je ne vois pas quel argument théorique me permettrait de conclure (ou alors je suis simplement passé à côté d'une évidence, c'est très possible !).

Merci d'avance.

[GaBuZoMeu]

Tu peux essayer d'utiliser la caractérisation arithmétique du ppcm : , avec et premiers entre eux, et et .

[joce]

Merci pour cette réponse. Je reviendrai vers vous si je n'avance pas.

Bonne fin de journée.