Déterminer un noyau Ker, sa base et sa dimension

[phyelec]

autre chose sur la surjectivité : f : E--> F est surjective si que tout élément de F a au moins un antécédent dans E.
Vous avez écris "Comme Dim f(R4)=2 et qu'elle est differente de Dim(R4)=4,". Dans votre cas que vaut E,que vaut F?

[phyelec]

erratum : lire "ces 4 vecteurs" au lieu de "c'est 4 vecteurs ",sorry

[Cambacérès]

Merci beaucoup pour ces explications, oui je comprends pour -une- base de R4.
Une fois qu'on a la base effectivement c'est logique d'en extraire 2 vecteur ça je vois.
Mais pour le calcul de sa base, comment en ayant un noyau
x(1,0,-1,-2/3) et y(0,1,1,1/3) peut on aboutir aux valeurs (1,2,-2),(-1,-1,2),(1,0,-2)(0,3,0).
Pour le dire autrement, on sent qu'il y a une formule derrière mais laquelle (?)
Amicalement,

[phyelec]

Im(f)= Vect(f(e1),f(e2)f(e3),f(e3),f(e4)=vect((1,2,-2),(-1,-1,2),(1,0,-2)(0,3,0))

[Cambacérès]

Merci beaucoup pour cette formule.
Mais du coup comment détermine t'on que vect e1=(1,-2,2) et pas (1,0,0) par exemple, que vect e4=(0,3,0) et pas (0,0,1), que vect e2=(1,2,2) et pas (0,1,0) et que vecte3=(1,0,-2).
Autrement dit de quoi dépendent ces valeurs(?)
Amicalement

[phyelec]

e1=(1,0,0,0) est un vecteur canonique de la base canonique de R4
f(e1)=(1,-2,2) ( au passage f(e1)est un vecteur de R3 car f : R4-->R3

[phyelec]

erratum f(e1)=(1,2,-2)

[Cambacérès]

Merci de tout coeur pour ces explications.
En fait, pour le dire autrement, comment sait on que pour f(e1), on a x qui vaut 1, y qui vaut 2 et z qui vaut -2
Est ce un choix purement arbitraire ou y a t'il un petit calcul pour déterminer rapidement nos (x,y,z)(?)
Amicalement

[phyelec]

l'énoncé dit f(u)=f(x,y,z,t)=(x-y+z, 2x-y+3t, -2x+2y-2z)
f(e1)=f(1,0,0,0)=(1-0+0, 2*1-0+3*0, -2+2*0-2*0)

[Cambacérès]

Merci beaucoup, eureka, du coup on a:
f(e2)=f(0,1,0,0)=(-1,-1,2),
f(e3) =f(0,0,1,0)=(1,0,-2)
f(e4)=f(0,0,0,1)=(0,3,0).
Mais pour la dimension je suis un peu confus, on a 4 vecteurs de 3 variables. Du coup on est en dimension 4 parcequ'on a 4 vecteurs ou en dimension 3 parce qu'on a 3 variables(?)
Amicalement

[phyelec]

je reprends une partie d'un de mes postes précédents .

votre question est "Déterminer une base f(R4)",
Dim(f) =2 donc sa base est constituée de 2 vecteurs libres appartenant à Im(f).

f(e1),f(e2)f(e3),f(e3),f(e4) sont 4 vecteurs de Imf , ces 4 vecteurs sont une famille génératrice de Im(f) par une base de Imf , il faut en trouver 2 linéairement indépendant. Ce n'est pas f(e4) car f(e4)=f(e1)-f(e2)-2f(e3)

[phyelec]

autre chose :

une famille libre et génératrice est une base.
Comme Dim(f)=2 une base à 2 éléments.

[Cambacérès]

Merci beaucoup pour ces explications.
En fait du coup à part e4 qui est inutilisable dans une base parce qu'il n'est pas libre, l'un de nos vecteurs e1,e2,e3 nous sera inutile parce qu'il nous faut 2 vecteurs et pas 3 à cause du fait que Dimf n'est qu'en Dimension 2(?)
Amicalement,

[phyelec]

attention à ce que vous écrivez pour une base de f(R4), ce n'est pas e4 qui n'est utilisable mais f(e4) car combinaison linaire de f(e1),f(e2),f(e3).

[phyelec]

donc parmi f(e1),f(e2),f(e3),f(e4) il faut identifier 2 vecteurs linéairement indépendants.

[Cambacérès]

Merci beaucoup pour cette explication,
en fait e4 c'est (0,0,0,1) qui est toujours une base et
f(e4)=(0,3,0) qui est liée (?)
Et est ce à cause de l'équation Dim Ker f+ Dim f=R4
qui en sachant que Dim Ker f =R2 nous avait donné
Dim f=2 que l'on se retrouve à choisir 2 vecteurs seulement parmi les 3 vecteurs libres f(e1), f(e2), f(e3).
Amicalement

[phyelec]

attention à ce que vous écrivez :

e4=(0,0,0,1) qui est toujours un vecteur de la base canonique de la base de R4 et non une base de R4 qui a 4 vecteurs.
oui f(e4)=(0,3,0) qui est lié aux autres vecteurs
Dim f=2 que l'on se retrouve à choisir 2 vecteurs libres seulement parmi les 3 vecteurs libres f(e1), f(e2), f(e3).

[Cambacérès]

Merci beaucoup pour cette explication très claire.
En fait ça veut dire que la base de R4 a elle même une base qui est la base canonique(?)
Mais du coup, quelle est la base de R4 lui même, puisqu'on a trouvé la
base de f(R4), la base du noyau de R4, on a la base canonique de la base de R4 mais pas la base de R4 elle même (?)
Amicalement

[phyelec]

1) En fait ça veut dire que la base de R4 a elle même une base qui est la base canonique(?) : une des bases de R4 est la base canonique, toute famille de 4 vecteurs libres de R4 est une base de R4. La base de R4 formée par e1,e2,e3,e4 est appelée base canonique de R4.
2) Mais du coup, quelle est la base de R4 lui même, puisqu'on a trouvé la
base de f(R4), la base du noyau de R4, on a la base canonique de la base de R4 mais pas la base de R4 elle même (?) : vous n'avez pas trouvé une base de R4 mais une base de f(R4), les vecteurs de f(R4) ayant 3 éléments ne sont pas des éléments de R4 mais de R3,ne confondez pas l'espace de départ avec l'espace d'arrivé, f est une application de R4 dans R3

[Cambacérès]

Merci beaucoup pour ces explications !
Pour les "les vecteurs de f(R4) ayant 3 éléments ne sont pas des éléments de R4 ", la dimension est bien donnée par le nombre de vecteurs et pas le nombre d'éléments (?)
Par exemple,
1 vecteur avec (x,y), 2 vecteurs avec (x,y,z), trois vecteurs avec (x,y,z,t)
et 4 vecteurs avec (x,y,z,t,w) sont bien dans R1,R2,R3 et R4 respectivement conformément à leur nombre de vecteurs et non dans
R2, R3,R4 et R5 conformément à leurs nombres d'éléments (?)
De la même façon deux vecteurs avec 1 élément serait dans R2 et 3 vecteurs avec 2 éléments dans R3(?)
Amicalement