Déterminer la base de Ker(phi)

[penguin12]

Bonjour,

J'ai un doute concernant la détermination d'une base de ker(phi) (question 2)



J'ai pensé à 2 choses:
Soit:
1) résoudre a/6 + b/5 + c/4 + d/3 = 0, on obtient a = -6(b/5 + c/4 + d/3), en prenant b,c,d=1 on obtient a = -47/10
or phi(p(-47/10)) != 0....

Du coup 2) j'ai pensé à résoudre l'intégrale de x^2(p(x)) = 0, on trouve alors x = 0... donc base ker(f) = {0} => ker(f) = 0 donc phi est injective, de plus dim R3[x] = dim R donc phi surjective donc phi bijective

Ainsi pour la question 3, le p(x) tq phi(p(x)) = 1 est p(x) = 3, polynôme unique car phi(x) est bijective

Est-ce que c'est correct, ou est ce que je commet une erreur quelque part? Je pense que je ne peux pas dire que {0} est une base de ker f puisque 0 appartient toujours à ker f quelque soit l'application...
Merci d'avance !

[pascal16]

avec
P(X)= 1/3
Q(X)=X/4
d'après la question 1, on a phi(P)=phi(Q)=1


revenons en arrière
phi(P)=0 <=> a/6+b/5+c/4+d/3 = 0

[capitaine nuggets]

Salut !

équivaut à dire que .

Donc est l'ensemble de tous les polynômes de de la forme , où sont quatre réels vérifiant .

Or tu n'as qu'une équation à quatre inconnue : , donc tout ce que tu peux faire, c'est exprimer (au choix) une des quatre variables en fonction des trois autres, puis reporter cette l'expression de cette variable (en fonction des trois autres) dans l'expression de . sera donc constitué de polynômes de degré au plus égal à 3 donc les quatre coefficients dépendront uniquement de trois variables parmi a,b,c,d (ça dépend du choix que tu auras fait).

[pascal16]

peut être qu'une base du genre (4X-3 ; 5X²-3 ; 6X^3-3) conviendrait.