Déterminer un noyau Ker, sa base et sa dimension

[Cambacérès]

Bonjour à tous chers amis,
J'ai une application de R4 dans R3 tq:
f(u)=f(x,y,z,t)=(x-y+z, 2x-y+3t, -2x+2y-2z)
On demande: "Déterminer Ker f. En donner une base et une dimension".
J'ai donc calculé le système
x-y+z=0
2x-y+3t=0
-2x+2y-2z=0
Je trouve comme solutions z=-x+y,
t=-2x/3 + 1y/3 et anecdotiquement z=3t+x.
Seulement voilà, ça ne me donne pas mon noyau Ker (?!)
Comment faut il faire pour sortir le fameux noyau des solutions (?)
Merci d'avance

[phyelec]

Bonjour,

voici mes calculs (j'espère qu'il n' y a pas d'erreur, vérifiez)
x-y+2z =0, (1)
2x-y+3t=0, (2)
-2x+2y-2z =0 (3)

(3) donne -x+y-z =0 soit y =x+z,
-on remplace dans (1) on a x-x-z+2z =0 soit z=0 donc y=x
-on remplace dans (2) on a 2x-x+z+3t=0 soit x+3t=0 soit t=-x/3

le vecteur qui engendre le noyau est v=(x,x,0,_x/3)=x(1,1,0,-1/3)

[phyelec]

erratum :
un vecteur du noyau est v=(x,x,0,-x/3)=x(1,1,0,-1/3)
le vecteur qui engendre le noyau est (1,1,0,-1/3)

[Cambacérès]

Bonjour cher Phyelec,
Malheureusement je crois qu'il y a une erreur dans votre système
En effet on a dans l'énoncé x-y+z=0 et non. x-y+2z=0comme vous l'écrivez.
Ce qui change beaucoup parce qu'injecter y=x+z dedans nous donne alors 0=0.
De la même façon l'injecter dans -2x+2y-2z=0 nous donne l'instructif 0=0
Enfin bref les deux seules infos qu'on a sont:
y=x+z
t=-2/3x +1/3y
La question c'est comment en sortir un noyau

[phyelec]

dans votre énoncé vous avez f(u)=f(x,y,z,t)=(x-y+2z, 2x-y+3t, -2x+2y-2z)?!

[Cambacérès]

Aie aie aie vous avez raison j'ai fait une terrible faute de frappe.
On a (x-y+z, 2x-y+3t, -2x+2y-2z)
Si on exprime tous les termes en fonction de y on a:
y=x+z
y=2x+3t
y=2z-3t
Donc
x=z-3t
x=y-z
x=(y-3t)/2

z=y-x
z=x+3t
z=(y+3t)/2

t=(2z-y)/3
t=(z-x)/3
t=(y-2x)/3

[phyelec]

le système est :
x-y+z =0
2x-y+3t=0
-2x+2y-2z=0
écrit autrement :
x - y+z =0 => y=x+z
-x + y-z =0 => y=x+z
2x-y+ 3t=0 => t= (y-2x)/3 =(z-x)/3

donc si mes calculs sont bons un vecteur du noyau s'écrit v=(x,x+z,z,(z-x)/3)=x(1,1,-1/3)+z(0,1,1/3)

[Cambacérès]

Merci beaucoup cher Phyelec, effectivement on trouve bien avec votre formule:
x(1,0,-1,-2/3) et y(0,1,1,1/3)
Une question, comment avez vous trouvé cette chouette formule:
(x,x+z,z,(z-x)/3)?

[phyelec]

vous avez trouvez x(1,0,-1,-2/3) et y(0,1,1,1/3) avec le système z=y-x et t=(y-2x)/3, ici t et z sont fonctions de x et y quelconques.

comment je trouve (x,x+z,z,(z-x)/3) :
le système d'équation me donne y=x+z et t= (y-2x)/3=(x+z-2x)/3=(z-x)/3, ici t et y sont fonctions de x et z quelconques.
pour un vecteur v(x,y,z,t) du noyau je choisis x et z et puis y et t sont donnés par y=x+z et t= (z-x)/3.
v=(x,y,z,t)=(x,x+z,z,(z-x)/3)=(x,x,0,-x/3)+(0,z,z,z/3)=x(1,1,0,-1/3)+z(0,1,1,1/3)

[Cambacérès]

Merci de tout coeur pour cette explication lumineuse!
Mais du coup la réponse attendue par les correcteurs est elle avec x et y ou x et z (?)
Pour la base canonique, comment peut on la sortir de nos résultats.
J'ai un copain qui a trouvé {(1,2,-2),(-1,-1,2),(1,0,-2)(0,3,0)} mais je ne vois pas comment il a pu faire(?)
Amicalement,

[Cambacérès]

Et à propos du noyau, aurait on pu choisir au lieu de (x,y) ou (x,z) quelque chose comme (x,y,z) ou (t,x,z) ou (z,t,x,y) ou juste t, enfin toute combinaison (?)

[phyelec]

kerf a plusieurs bases ( c'est logique car une base une famille libre de vecteurs qui engendre un espace vectoriel).
On ne peut pas prendre " toute combinaison" cela dépend du système à résoudre.
ici on a :
y=x+z
t=(y -2x)/3
4 inconnues 2 équations. Il faut donc en fixer 2 pour trouver les 2 autres.

[phyelec]

Dans votre exercice le question est "Déterminer Ker f. En donner une base et une dimension".
Donc vous donnez une base, celle que vous voulez pour répondre.

[Cambacérès]

Merci pour cette explication limpide!
Pour la base canonique (1,2,-2),(-1,-1,2),(1,0,-2)(0,3,0), comment extrait on ces valeurs qui n'ont rien à voir avec notre noyau(?)
Merci encore:)

[Cambacérès]

Enfin je ne vois pas à quoi correspondent ces valeurs, pourquoi 4 couples et pourquoi (0,3,0) par exemple (?)

[phyelec]

Vous ne faites pas état d'une question sur la une base canonique et si oui de quoi?
A ma connaissance les vecteurs canoniques sont par exemple pour e1=(1,0,0,0),e2=(0,1,0,0),e3=(0,0,1,0),e4=(1,0,0,0).

[phyelec]

peut-être vous demande t-on d'exprimer les vecteurs de la base de kerf en fonction des vecteurs canonique de ?

[phyelec]

dans ce cas :
v=(1,0,-1,-2/3)=e1-e3-(2/3) e4

[Cambacérès]

Merci beaucoup pour cette réponse, oui je pensais aussi aux vecteurs canoniques mais il semble qu'il y ait une subtilité.
Voici l'énoncé :
Soit f une application linéaire de R4 dans R3 tel que
f(u)=f(x,y,z,t)=(x-y+z,2x-y+3t,-2x+2y-2z)
a)Montrer que f est une application linéaire de R4 dans R3
J'ai montré que f(u+v)=f(u)+f(v) et f(a u)=a f(u).
b) Déterminer Ker de f. En donner une base et une dimension
x(1,0,-1,-2/3) et y(0,1,1,1/3)
Dim Ker(f)=2
c)Quelle est la dimension de f(R4)?
Comme Dim ker(f)=2, on a Dim(f)=Dim(R4)-Dim Ker(f) qui fait 2, d'où Dim(f)=2.
d) Déterminer une base f(R4)
Je bloque. Un copain a trouvé (1,2,-2),(-1,-1,2),(1,0,-2)(0,3,0).
Je ne vois pas comment il a fait.
e)f est elle injective, bijective, surjective
Comme Ker(f) différent de 0, f n'est pas injective
Comme Dim f(R4)=2 et qu'elle est differente de Dim(R4)=4,
f n'est pas surjective. Je ne suis pas sûr que ce soit bien justifié.
Comme f n'est ni injective ni surjective elle n'est pas bijective.
f)Calculer la matrice A représentant f dans les bases canoniques de R4 et R3
Je prends les 4 vecteurs que mon copain a trouvé à la question d) sur la base de f(R4) et je les mets en colonne. Le seul problème c'est que je ne sais pas comment il a trouvé son résultat

[phyelec]

votre question est "Déterminer une base f(R4)", donc il n'est pas question de canonique.
Dim(f) =2 donc sa base est constituée de 2 vecteurs libres appartenant à Im(f).

Deux manières de faire :
1) calculer Im(f)= Vect(f(e1),f(e2)f(e3),f(e3),f(e4) c'est la méthode de votre ami.
vous avez 4 vecteurs qui sont une famille génératrice de Im(f), il faut vérifier qu'ils sont linéairement indépendants pour prouvez que c'est une base de Im(f). Au passage, comme à la question précédente vous avez calculé Dim(f) vous savez que c'est 4 vecteurs ne forment pas une base de Im(f), il en faut 2.
2)Vous cherchez 2 vecteurs linéairement indépendants de Im(f).