Dérivation

[jool666666]

Bonjour,
Mon problème est le suivant :
j'ai les variables suivantes x,y,t. tel que .
Soit .
a() une fonction suffisamment régulière

j'ai la dérivée suivante :

-\frac{\partial}{\partial y}[k(y)a(S_0)\frac{\partial S_0}{\partial y}] = 0 ( impossible de la mettre en latex sur le forum ça donne ça : ce qui n'a rien a voir !!
... je la réécrit donc ci dessous en version barbare)

-d/dy [ K(y) * a(S0) * dS0/dy ] = 0

je dois arriver à montrer que , c'est a dire, ne dépend pas de y.

Comment dois je faire ?

J'ai pensé a introduire la primitive de a qui s'annule en 0 ( a>0 tout est positif tout est gentil et existe) tq :


Merci de vos réponse

[adrien69]

Il faut mettre \[ pour faire un crochet.

Sinon, je réfléchis à ton problème.

[adrien69]

Comme ton espace est gentiment convexe (ça doit être )
On est d'accord que le bidule dans ta dérivée partielle ne dépend pas de y ?
Est-ce que tu sais que ça peut être nul ou pas du tout ?

[jool666666]

Comme ton espace est gentiment convexe (ça doit être )
On est d'accord que le bidule dans ta dérivée partielle ne dépend pas de y ?
Est-ce que tu sais que ça peut être nul ou pas du tout ?

l'espace est bien .
en revanche à la base et dépendent de y. (en fait ce problème provient d'un développement asymptotique à 2 échelles)

[adrien69]

l'espace est bien .
en revanche à la base et dépendent de y. (en fait ce problème provient d'un développement asymptotique à 2 échelles)

Oui mais si la dérivée partielle par rapport à y est nulle ça implique que ça ne dépend pas de y.

[jool666666]

Oui mais si la dérivée partielle par rapport à y est nulle ça implique que ça ne dépend pas de y.

Ah oui pardon, je n'avais pas bien compris.
Donc oui, ce qu'il y a entre crochet sera donc indépendant de y. Cependant il me reste à démontrer que ne dépend pas non plus de y...

[adrien69]

Il m'a l'air de manquer une hypothèse... Je ne vois pas comment faire sinon...

[jool666666]

J'ai trouvé la solution ! Je la posterai d'ici peu pour ceux que ça interesse !

[adrien69]

Fais donc, ça m'intéresse beaucoup.

[jool666666]

Fais donc, ça m'intéresse beaucoup.

Alors c'est parti !



-\frac{\partial}{\partial y}\[k(y)a(S_0(x,y,t))\frac{\partial S_0}{\partial y}(x,y,t)\] = 0

(bon celle là je dois être un peu "neuneu" je n'y arrive toujours pas haha !

on intègre sur y :



Avec fonction qui ne dépend que de x et de t.

on définit la primitive de par :


tel que et /

On suppose $$ croissante et positive etc... pour que puisse être inversible (on en aura besoin à la fin).

on a donc :



i.e.



enfin on intègre sur y



c'est ici que débarquent les conditions aux limites qui me manquait : $$ est périodique par rapport à y sur [0,Y] d'ou :

$$

alors la fonction $$ disparaît et on obtient $$. d'ou

$$

i.e.

$$

Enfin en passant à $$ (qui existe par nos hypothèses) :

$$

J'espère que c'est à peu près clair ? (si je n'ai pas fait de faute de frappe)

Merci quand même d'avoir essayé de m'aider aussi rapidement!

[adrien69]

C'est très clair merci, mais comme je l'avais dit il manquait des hypothèses :marteau:
Na !