Démonstration du théorème de l'application ouverte

[esperluette]

Bonjour,

On a démontré en cours le théorème de l'application ouverte :
Si E et F sont deux Banach et linéaire continue et surjective de E dans F alors, il existe C>0 tel que (avec ensuite pour conséquence que est ouverte).

Pour la preuve, on a fait ça en deux étapes :

1) Montrer qu'il existe C>0 tel que .
Ca, c'est bon.

2) En déduire le résultat voulu.

Pour ça, on écrit : Soit . On cherche tel que et .
D'après l'étape 1, tel que et
Et là, je bloque : pourquoi a-t-on le droit de choisir ? L'étape 1 nous donne l'existence d'un tel z mais pour , non ?
En sachant qu'après le 1/2 deviant 1/4, 1/8, ... le but étant de construire par récurrence une suite telle que et
En soit, si l'on admet que le peut se transformer en pour tout n, alors, je comprends comment on a construit la suite, mais c'est ce passage qui me gène vraiment... Dans beaucoup de preuves trouvée sur le net, c'est considéré comme "évident"

Si quelqu'un pouvait éclairer ma lanterne sur cette "évidence", ce serait vraiment cool

Merci d'avance !

[aviateur]

Si y est ds alors 2y est ds dc d'après l'étape, il existe u de module <1
tq . Soit encore Tu poses et ceci explique cela.

Ensuite par homogénéité la question dans la question 1 tu peux diviser les rayons par 2^n.

A la deuxième étape tu poses qui est de module < (2C)/2 donc il existe
de module < 1/4 tel que
et ainsi de suite en appliquant le 1) mais ayant divisé par 2 les rayons à chaque fois.