Démonstration équa. diff.

[Kinoa]

Bonjour à tous,

Encore un petit soucis concernant les équa. diff. :

Soit y(x) solution de l'équation : y' = ((y-1)^2)*y. Démontrez que : z(x) = y(x+1) est aussi solution de l'équation.

y(x+2) l'est-elle aussi ? Et qu'en est-il de y(x+c) ?

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Je m'aperçois que y'(x+c) = y(x), mais c'est pour le moment ma seule piste..

Sans doute quelque chose doit m'échapper..

Je sais qu'on peut résoudre ceci graphiquement également, mais comment procède t-on précisement ?

Merci d'avance ! :lol3:

[Kinoa]

Personne n'a d'idée ?.. Petit up.

Merci d'avance !

[JeanJ]

y' = ((y-1)^2)*y. Démontrez que : z(x) = y(x+1) est aussi solution de l'équation.
attention : il ne s'agit pas de y multiplié par (x+1). Il s'agit de y fonction de (x+1)
z'(x) = y'(x+1) toujours des fonction et non pas multiplication !
y' = ((y-1)^2)*y est vrai pour tout x donc est vrai pour x+1
remplacer y'(x+1) par z'(x)
remplacer y(x+1) par z(x)
z' = ((z-1)^2)*z

De même pour y(x+2)et pour y(x+c)

Note : pour résoudre analytiquement l'équation (ce qui n'est pas demandé), considérer la fonction réciproque x(y)
dy/dx= ((y-1)^2)*y
dy/(((y-1)^2)*y) = dx
x = intégrale dy/(((y-1)^2)*y) +constante
x = ln(y/(y-1)) -1/(y-1) + constante
Le calcul de y(x) , qui est la fonction réciproque de x(y) , fait intervenir une fonction spéciale : la fonction W de Lambert.

[Kinoa]

Bonjour JeanJ,

Merci pour la réponse !

Je vais regarder ça bien attentivement et je te tiens au courant.

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J'ai encore un autre problème du même type, donc je crois que je vais également le poster ici plutôt que de reposter un topic :

"Soit y(x) solution de l'équation :

Prouver que : 0 < y(x) < (x^2)+1 pour tout x du domaine de définition de la solution."

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Pour ça, j'ai entendu parler du lemme de Gronwall, seulement je n'ai pas vu ça en cours (je précise mon niveau : prépa (MPSI)), du coup n'y a t'il pas une méthode plus simple et surtout plus abordable pour démontrer ça ?

Merci encore par avance !

[Kinoa]

Re,

JeanJ, je me permets de reciter ton raisonnement, plus particulièrement :

y' = ((y-1)^2)*y est vrai pour tout x donc est vrai pour x+1

Une fois qu'on dit ça, évidemment que la suite coule de source, seulement ne faut-il pas d'une quelconque manière démontrer ceci ?

Merci bien.

[Kinoa]

"Soit y(x) solution de l'équation :

Prouver que : 0 < y(x) < (x^2)+1 pour tout x du domaine de définition de la solution."

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Pour ça, j'ai entendu parler du lemme de Gronwall, seulement je n'ai pas vu ça en cours (je précise mon niveau : prépa (MPSI)), du coup n'y a t'il pas une méthode plus simple et surtout plus abordable pour démontrer ça ?

Merci encore par avance !

Petit up car c'est assez important, si quelqu'un a une idée là-desus..

Merci d'avance.

[Kinoa]

Petit up car c'est assez important, si quelqu'un a une idée là-desus..

Merci d'avance.

Bon j'ai finalement abouti..

Merci quand même à ceux qui auront jeté un coup d'oeil.