Convexité et Compacité

[bagabd]

Salam,

Soient quatre convexes compacts du plan complexe tq:


A-t-on

[Robot]

La démonstration de l'autre fil marche aussi. Mais as-tu compris cette démonstration ? Je t'avais laissé un programme de travail, l'as-tu complété ?

[bagabd]

Salam,
oui, bien sûr. Un détail qui me manquait : l'existence de , je n'ai pas fait attention qu'elle fait aussi partie de l'hypothèse de récurrence.
Tu crois que la même preuve marche bien dans cette question ?
MERCI.

[Robot]

Non seulement je crois, mais je suis sûr. Pas toi ?

[bagabd]

Salam,

Oui, ça marche ! Et si maintenant, on réduit les hypothèses en supposant que est
seulement convexe. Est ce qu'on aura forcement la compacité de et on conclut. Ainsi on obtient une amélioration de cette proposition et une généralisation de la première ( adhérence et convexité ).
Merci de me supporter!

[Robot]

Plus de compacité, plus de Krein-Milman. Vois ce que tu peux faire.

[bagabd]

Salam,

Excuse moi ! je veux dire que qui est seulement convexe. L'égalité
est maintenant plus puissante.

[Robot]

Peux-tu formuler clairement et complètement ta question ? Là, il est difficile de s'y retrouver.

[bagabd]

Salam,

Voilà ma question:
Soient trois parties compactes convexes et une partie convexe
du plan complexe qui vérifient

avec et .

A-t-on et ?

[Robot]

La même démonstration marche toujours : on montre que les points extrémaux de appartiennent à .
Si tu avais vraiment compris la démonstration, tu ne poserais pas cette question. J'en déduis que tu n'as pas compris la démonstration. Plutôt que de tourner autour du pot, dis clairement ce qui te pose problème.

[bagabd]

Salam,

merci d'abord. Rassure toi, je l'ai bien comprise;
en dimension finie, si est une partie convexe compacte (Théorème de Krein-Milman).
Puisque convexe, il suffit de montrer que Le reste est sous ma résponsabilité.
Tu es maintenant rassuré?

[bagabd]

Salam,

Excuse moi pour cette interruption. Je t'invite à me suivre:
Avec les conditions de notre question.

Première étape: montrons que
Soit , on choisit . Il existe et
tq. . Comme , on peut trouver
et tq. . Ainsi on construit deux suites et tq. , on obtient


Puisque est convexe et est borné, alors
et . On en déduit, puisque est férmé, que .

Deuxième étape: , utiliser le résultat de la première étape.

Troisième étape: puisque , alors . La première étape assure l'égalité .

Notez bien que cette preuve ne fait pas appel au Théorème de Krein-Milman, on utilise seulement les définition basiques.
Notez aussi, si je ne me trompe pas, qu'on a pas besoin de la compacité de , seulement qu'il soit convexe fermé! et que est borné suffit.
Alors le théorème de Krein-Milman n'est plus applicable.
Moi, ce que je cherche c'est de minimiser les conditions pour que notre proposition soit plus forte. Ainsi je vous invite d'examiner avec moi cette preuve de plus près et de la rendre optimale en ce qui concerne ses hypothèses.
Cordialement.

[Robot]

Avec les conditions de notre question.

Dans ces conditions, figure . Pourquoi le démontres-tu ?

Quant à ta deuxième étape, tu ne démontres rien du tout.

[bagabd]

Salam,

Par les conditions, je veux dire seulement : et sont convexes fermées et est bornée. On montre dans la première étape que


Quand à la deuxième étape (par la première étape).
Nous avons donc .
En résumé : . (on ne suppose aucune inclusion pour l'instant)
Et félicitations!

[Robot]

Ce n'est plus la question que tu posais. Tu l'as changée.

Ce que tu fais ne répond absolument pas à la question de départ. Tu n'as pas de démonstration du résultat suivant sans Krein-Milman :
Soient et des convexes compacts, un convexe contenu dans . Si , alors .

Essaie d'être plus sérieux dans la formulation des hypothèses.

[bagabd]

Salam,

en regardant la preuve utilisant les suites et on a la formulation suivante:

, convexes fermés et borné. Alors
. (notre but est de minimiser les hypothèses)

En fin si on suppose el tous compacts convexes, alors

et et .

On obtient alors notre proposition de départ sans utiliser le théorème de Krein-Milman.
Utiliser des arguments élémentaires, c'est préférable ! Non?

Cordialement.

[Robot]

C'est préférable, mais à condition de pouvoir montrer la même chose !!!!!
Ca serait bien si tu changeais pas la question.

Ta question dans l'autre fil et ici tournait autour du résultat suivante (je la répète encore une fois) :
Soient et et des convexes compacts, un convexe contenu dans . Si , alors .
Ton raisonnement ne montre pas ce résultat.

Tu ne minimises pas les hypothèses, puisque tu supposes et tous les deux fermés. Dans le résultat que j'ai rappelé ci-dessus, on ne suppose pas fermé.

[bagabd]

Salam,

Soient quatre convexes compacts du plan complexe tq:


A-t-on

C'est ça ma question au début. On est d'accord qu'on peut éviter le Th. K-M.

J'ai encore bp de questions!
Cordialement.

[Robot]

Salam,

Voilà ma question:
Soient trois parties compactes convexes et une partie convexe
du plan complexe qui vérifient

avec et .

A-t-on et ?

Montre-moi qu'on peut éviter Krein-Milman.

[bagabd]

Salam,

en regardant la preuve utilisant les suites et on a la formulation suivante:

, convexes fermés et borné. Alors
. (notre but est de minimiser les hypothèses)

En fin si on suppose el tous compacts convexes, alors

et et .

On obtient alors notre proposition de départ sans utiliser le théorème de Krein-Milman.
Utiliser des arguments élémentaires, c'est préférable ! Non?

Cordialement.

Veuillez regarder les hypothèses après "En fin si on suppose". Ce sont les hypothèses du départ.
Mais:
trois compacts convexes et convexe
avec et .
A-t-on et ?
Ce n'est qu'une question et non pas une affirmation. D'ailleurs le point d' interrogation en témoigne!