Compacité

par **chococoo** » 23 Jan 2008, 23:30

bonsoir a tous !
comment montrer que l'ensemble des matrices orthogonales reelles est compact dans l'ensemble des matrices réelles ?
merci de votre aide !

par **ThSQ** » 24 Jan 2008, 14:17

Bon courage parce que c'est faux pour moi.

est un fermé (et borné), ça va lui être plutôt hard d'être dense dans un ensemble strictement plus grand.

par **tize** » 24 Jan 2008, 15:22

Bonjour,
je pense que chococoo s'est trompé dans le crops du message, il a surement voulu dire compact, non ? Comme l'indique le titre de son message...confusion très malheureuse...

par **abcd22** » 24 Jan 2008, 16:33

Bonjour,
Pour montrer la compacité de cet ensemble, on montre qu'il est fermé et borné :
- fermé : image réciproque d'un fermé par une application continue (reste à trouver quelle application et quel fermé),
- borné (pour une norme quelconque sur l'ensemble des matrices réelles n×n) : les lignes et colonnes des matrices orthogonales ont des propriétés qui peuvent servir...

par **ThSQ** » 24 Jan 2008, 17:32

tize a écrit:voulu dire compact

Oui, sans aucun doute effectivement.

Fermé c'est évident et pour borné, comme on peut prendre n'importe quelle norme, je prends, complètement au hasard,

:bad:

par **tize** » 24 Jan 2008, 17:35

ThSQ a écrit: je prends, complètement au hasard, :bad:

Je l'avais oubliée celle là...

par **chococoo** » 24 Jan 2008, 20:31

oui,bien sur,désolé,c'est la compacité !!
borné est immédiat oui,mais compact j'ai un peu plus de mal...

par **ThSQ** » 24 Jan 2008, 20:46

chococoo a écrit:oui,bien sur,désolé,c'est la compacité !!
borné est immédiat oui,mais compact j'ai un peu plus de mal...

Marrant pour moi c'était plutôt l'inverse (ie fermé = immédiat).

Pour fermé on peut faire :

Si M_n est une suite de matrice orthogonales -> M alors par continuité de la '*', transposition, ... M_n*tM_n =I -> M*tM = I

Ou

f : A -> A*tA est continue et O_n = f^{-1}(I) fermé comme image réciproque d'un fermé.

par **chococoo** » 24 Jan 2008, 20:56

j'avais effectivement pensé a prendre une suite de matrices,mais,et ca doit etre vraiment idiot,j'ai pas réussi a demontrer la continuité du passage a l'inverse :hum:

par **chococoo** » 24 Jan 2008, 22:26

ok c'est bon,désolé,j'ai dit des betises,c'est résolu

par **ThSQ** » 24 Jan 2008, 23:29

chococoo je comprends pas du tout tes deux derniers messages mais si c'est ok alors c'est parfait !

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