Bonjour,
Je bloque sur la fin de la démonstration du théorème du compactifié d'Alexandroff (qui affirme que tout espace topologique localement compact X est homéomorphe à
, où
est un espace topologique compact et
est un point n'appartenant pas à X).
C'est la preuve du fait que
est quasi-compact qui me pose problème.
En particulier, je n'arrive pas à me convaincre du fait que l'écriture du recouvrement d'un compact de X sous forme de trace sur K d'un recouvrement de
permet d'extraire un ensemble fini indexant à la fois un recouvrement fini de K et un recouvrement fini de X.
La démo de mon livre est structurée de la manière suivante (page 84 du Skandalis de topologie 3e année 2004) :
0) Écrire
et munir celui-ci de la topologie formée des ouverts de X et des parties de la forme
où K est un compact de X.
1) Montrer qu'il s'agit bien d'une topologie sur
2) Montrer que
est séparé
3) Montrer que
est quasi-compact :
-> Soit
_{i\in I})
un recouvrement ouvert de
-> Il existe
tel que
-> Il existe une partie compacte K de X telle que
(par définition de la topologie sur
).
-> Remarquer que
)
est un recouvrement ouvert de K qui est compact, donc admet un sous-recouvrement fini de K (qu'on indexe par le sous-ensemble fini J de I)
-> On pose
et on affirme que
, ce qui montre que ce dernier est quasi-compact.
Je ne comprends pas qu'est-ce qui permet d'affirmer que
(qui serait équivalent à dire
).
En quoi l'ensemble des indices du sous-recouvrement fini de K (qui peut être un petit morceau de X) permet-il magiquement d'obtenir un sous-recouvrement fini de X ??Merci d'avance pour vos éclaircissements..
