Un compact

par **Godfrey** » 10 Juin 2015, 13:08

jlb a écrit:@Godfrey : Et bien, merci pour cette réponse. C'est sympa les réponses aux questions posées...

De rien, quoique je n'aie pas répondu à grand chose.
J'aimerais bien moi aussi trouver un espace métrique (qui ne soit pas un R-espace vectoriel de dimension finie) dans lequel les fermés bornés sont compacts.
A mon avis il faudra chercher du côté des espaces métriques complets, l''argument mis en défaut avec Q étant justement le fait qu'il ne l'était pas !

par **paquito** » 10 Juin 2015, 14:27

Godfrey a écrit:De rien, quoique je n'aie pas répondu à grand chose.
J'aimerais bien moi aussi trouver un espace métrique qui ne soit pas un R-espace vectoriel de dimension finie sur un corps R et dans lequel les fermés bornés sont compacts.
A mon avis il faudra chercher du côté des espaces métriques complets, l''argument mis en défaut avec Q étant justement le fait qu'il ne l'était pas !

En dimension infinie, la boule unité n'étant pas compacte, il est inutile de chercher, ça pourrait durer longtemps!

par **Godfrey** » 10 Juin 2015, 14:28

paquito a écrit:En dimension infinie, la boule unité n'étant pas compacte, il est inutile de chercher, ça pourrait durer longtemps!

C'est quoi la dimension d'un espace métrique ?

par **arnaud32** » 10 Juin 2015, 15:37

Godfrey a écrit:De rien, quoique je n'aie pas répondu à grand chose.
J'aimerais bien moi aussi trouver un espace métrique (qui ne soit pas un R-espace vectoriel de dimension finie) dans lequel les fermés bornés sont compacts.
A mon avis il faudra chercher du côté des espaces métriques complets, l''argument mis en défaut avec Q étant justement le fait qu'il ne l'était pas !

N muni de la distance usuelle

par **paquito** » 10 Juin 2015, 18:30

Godfrey a écrit:C'est quoi la dimension d'un espace métrique ?

finie ou infinie! :marteau: :mur:

par **bolza** » 10 Juin 2015, 21:25

En fait l'idée de la preuve "fermée borné" => compact est que :

bornée => qu'il existe une boule qui contient l'ensemble, si la boule est compact
alors on a un fermé inclus dans un compact et donc l'ensemble est compact.

ça marche bien dans les evn de dimension fini car il suffit de montrer que la boule unité fermé est compact
ensuite par homotétie on en déduit que toutes les boules fermés sont compacts.

Mais si on n'est pas dans un evn, la notion d'homotétie n'existe pas, et donc si on arrive à montrer
que la boule unité fermé est compact, on ne peut pas en déduire facilement que toutes les autres boules fermé sont compacts.

Donc en gros, si dans notre espace métrique, toutes les boules fermés sont compacts, c'est gagné.
Et dans les espaces ou l'on peut montrer que "borné => il existe un compact qui contient l'ensemble" on a
"fermé borné" => compact.

Dans la littérature j'ai trouvé la notion d'espace localement compact, ce sont les espace où chaque point admet un
voisinage compact. C'est assez proche de l'idée que toutes les boules fermés sont compacts

En fait ils se trouve que les evn de dimension fini sont localement compact, et que Q n'est pas localement compact
ça à l'air de conforter l'idée qu'il y est un lien entre un espace localement compact et le fait que
"fermé borné" => compact.

Mais existe-t-il des espaces métriques dans lesquels certaines boules fermés sont compacts et d'autres non ?

par **paquito** » 10 Juin 2015, 21:50

Le théorème fondamental est le suivant: soit E un espace vectoriel muni d'une norme qui induit une topologie d'espace métrique (||x-y||est une distance), alors la boule unité est compacte ssi E est de dimension finie: donc dans ce cas si l'on a un fermé borné, il sera inclus dans une boule compacte se déduisant de la boule unité par une homothétie et sera donc compact.

Par contre, si la boule unité n'est pas compacte, aucune boule ne le sera et il sera impossible d'inclure

ton fermé dans un compact et donc cela va être très difficile de trouver un fermé un fermé compact!

Quant à la notion de localement compact, c'est local, donc hors sujet.

par **arnaud32** » 11 Juin 2015, 10:14

La question d'origine est de caracterise les espaces metriques (X,d) qui verifient que 'tout ferme borne est compact'

se reduire aux espaces vectoriels est donc insuffisant.

on a deja vu que X doit etre complet (car toute suite de cauchy va avoir une valeur d'adherence)
il doit aussi etre localement compact car les

sont des fermes bornes contenatn un voisinage de x

mais je doute que ce soir suffisant
je pense qu'il faut qu'il existe une suite croissante de compacts recouvrant X

par **Godfrey** » 11 Juin 2015, 10:39

paquito a écrit:finie ou infinie! :marteau: :mur:

Ah bon ? C'est une définition ?
Je crois que depuis le début de ce fil, tu confonds espace métrique et espace normé.

Un compact

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