Compacité ?

[Wenneguen]

Bonjour,

je me pose des questions concernant la notion de compacité.

La compacité est-elle une notion relative ? Un espace compact est-il compact relativement à un autre espace plus grand dans lequel il est inclus, ou un espace peut-il être considéré comme compact en lui même ? Peut-on dire que est compact ?

Merci ! :we:

[cuati]

Bonjour,

je me pose des questions concernant la notion de compacité.

La compacité est-elle une notion relative ? Un espace compact est-il compact relativement à un autre espace plus grand dans lequel il est inclus, ou un espace peut-il être considéré comme compact en lui même ? Peut-on dire que est compact ?

Merci ! :we:

C'est une notion topologique, donc relative aux ouverts de ton espace...

[Wenneguen]

C'est une notion topologique, donc relative aux ouverts de ton espace...

Comment ça relative aux ouverts ? Quand on me dit " montrer que le cercle unité de est compact ", est-ce que je peux dire que est compact ?

[Sylviel]

C'est une notion topologique donc pas besoin de dire compact dans ... En revanche cela dépend de la topologie donc par exemple de la distance que tu mets sur ton espace.

R² n'est pas compact.

Quelle définition / caractérisations as-tu d'un compact ?

[Wenneguen]

C'est une notion topologique donc pas besoin de dire compact dans ... En revanche cela dépend de la topologie donc par exemple de la distance que tu mets sur ton espace.

R² n'est pas compact.

Quelle définition / caractérisations as-tu d'un compact ?

La définition qu'on m'a donnée :

" Soit (E, ||.||) un espace vectoriel normé et A une partie de E. On dit que A est un compact si de toute suite de A on peut extraire une sous-suite qui converge dans A. "

[Sylviel]

Et tu n'as rien d'autres que la définition dans ton cours ?

As tu déjà vu la démonstration qu'un segment est compact ?

[Doraki]

Etre compact c'est une propriété d'un espace topologique.
Là, la question porte sur le cercle unité muni de la topologie induite par la topologie usuelle de R².
Donc d'abord tu regardes quels sont les ouverts du cercle pour cette topologie, ensuite tu écris la définition de "être compact" pour un espace topologique, et après seulement tu peux commencer à réfléchir.

Et puis R² n'est pas compact donc je ne pense pas que ce soit une bonne idée de dire que R² est compact.

[cuati]

J'imagine Wenneguen que tu découvres un peu la topologie et peut être l'as tu vu seulement de manière séquentielle (c'est à dire avec la définition basée sur les suites et les sous-suites convergentes). Il existe une définition beaucoup plus générale de la compacité à partir des ouverts de ton espace, c'est pour cela que j'ai écrit qu'il s'agit d'une notion topologique...

@Sylviel : R² avec la topologie grossière est bien compact... même si, c'est sûr, cette topologie n'est pas très utile...

[Sylviel]

@Sylviel : R² avec la topologie grossière est bien compact... même si, c'est sûr, cette topologie n'est pas très utile...

Merci cuati ^^ Mais je pense effectivement que notre ami n'a vu comme topologie que la topologie usuelle. Donc ne le perturbons pas avec d'autres choses.