Compacité

[bentaarito]

Bonjour,

notre prof nous a sorti un lemme que j'arrive pas à comprendre intuitivement

le lemme " si J est infini à l'infini, alors où , compact "

avec comme définition " J est infini à l'infini si

voilà ce que je comprend pas c'est comment est ce que ce résultat est vrai vu qu'on donne pas trop de contraintes sur K'.
et j'arrive pas à exhiber un exemple simple sur R par exemple.

[Luc]

Salut,

je pense pas que ça marche avec tout K' : K' doit être assez gros pour contenir le minimum de J.
Ça se voit assez bien avec une fonction continue de R dans R tendant vers l'infini en l'infini. Elle admet un minimum global, par exemple en 0, mais si K' est un compact tel que [1,2], il y a un probleme...

[bentaarito]

voilà c'est exactement ce que m'a semblé contre-intuitif..
donc quelle condition faut il ajouter sur K' pour que ce lemme soit valable?

[Luc]

voilà c'est exactement ce que m'a semblé contre-intuitif..
donc quelle condition faut il ajouter sur K' pour que ce lemme soit valable?

est-ce que K est compact?
Par ce qu'intuitivement j'aurais dis que l’énoncé est : il existe un compact sur lequel J atteint son minimum. Essentiellement le fait que J soit infinie en l'infinie permet de ramener le probleme a l’étude d'une fonction sur un compact.

[bentaarito]

si K était compact je vois pas l’intérêt du lemme dans ce cas!!

K est un fermé à priori
Le théorème qu'on veut démontrer à l'aide de ce lemme est le suivant:
" J étant un opérateur continu sur K ( fermé), on a : si K est compact ou si J est infini à l'infini alors J admet au moins un point de minimum sur K "

[Luc]

si K était compact je vois pas l’intérêt du lemme dans ce cas!!

K est un fermé à priori
Le théorème qu'on veut démontrer à l'aide de ce lemme est le suivant:
" J étant un opérateur continu sur K ( fermé), on a : si K est compact ou si J est infini à l'infini alors J admet au moins un point de minimum sur K "

Ok!
Donc c'est juste un probleme de quantificateur : mets un "il existe un compact K' tel que" devant l’énoncé et il devient juste.

[bentaarito]

Oui merci :lol3: :lol3:

[Sylviel]

J'arrive après la bataille mais je rejoint Luc : le seul truc c'est de dire que "oo à l'oo" ça revient à chercher le minimum sur un compact (donc existence car fontion continue etc..). si tu veux avoir ton compact de manière 'explicite' il suffit de prendre un sous ensemble de niveau donné (si ta fonction est sci du moins).