Compacité, sens topologie générale

[egan]

Salut tout le monde,

Je suis en train de m'approprier la compacité au sens de la topologie générale et j'ai quelques points qui me posent problèmes.
Tout d'abord, une question concernant la définition:

Un espace topologique X est compact s'il est separe et si tout recouvrement de X par des ouverts admet un sous-recouvrement fini.

Pourquoi imposé que X soit séparé ? Je n'arrive pas à en voir l'intérêt.

Je bloque aussi sur ce petit exo.

Montrer que:
Tous les sous-ensembles finis d'un espace topologique separe sont compacts.

Merci pour votre aide.
@+ Boris.

[acoustica]

Salut tout le monde,

Je suis en train de m'approprier la compacité au sens de la topologie générale et j'ai quelques points qui me posent problèmes.
Tout d'abord, une question concernant la définition:

Un espace topologique X est compact s'il est separe et si tout recouvrement de X par des ouverts admet un sous-recouvrement fini.

Pourquoi imposé que X soit séparé ? Je n'arrive pas à en voir l'intérêt.

Je bloque aussi sur ce petit exo.

Montrer que:
Tous les sous-ensembles finis d'un espace topologique separe sont compacts.

Merci pour votre aide.
@+ Boris.

Tous les ensembles finis d'un espace topologique finis d'un espace topologique sont fermés et bornés me semble t-il... donc compacts.

[egan]

Je n'ai pas entendu parlé parties bornées en topologie générale.

Et j'aimerais le montrer avec la définition que j'ai donné.

Et puis compact n'a jamais été équivalent à fermé et borné, sauf en dimension finie.

[Matt_01]

Quelle est la condition sur les ouverts pour qu'ils recouvrent ton ensemble ?

[egan]

L'ensemble doit être inclus dans l'union des ouverts.

Je ne vois pas où tu veux en venir.

[Matt_01]

Oui, et quand l'ensemble est fini ?
Que faut-il pour qu'un ensemble fini soit contenu dans une union (potentiellement infinie) ?

[egan]

Oula mais je suis bête moi. :marteau:
Chaque élément de l'ensemble fini est dans un ouvert. Il suffit alors de recouvrir par la réunion finie de ces ouverts.

On peut attaquer ma deuxième question. Pourquoi impose-t-on dans la définition des compacts le caractère séparé ?

[Matt_01]

Oula mais je suis bête moi. :marteau:
Chaque élément de l'ensemble fini est dans un ouvert. Il suffit alors de recouvrir par la réunion finie de ces ouverts.

On peut attaquer ma deuxième question. Pourquoi impose-t-on dans la définition des compacts le caractère séparé ?

Oui c'est ça
J'ai l'impression que l'on impose séparé car on perd beaucoup de propriété sinon. Par exemple l'aspect fermé d'un compact.

[egan]

Ah ok. Je n'ai pas encore lu cette partie. J'en suis resté aux histoires de recouvrements et le caractère séparé ne sert pas pour ça.