Exercice
On note
Pour
1) Montrer que la topologie définie sur
où
2) montrer que cette topologie est aussi définie par la famille des semi-normes
3) montrer que l'application
est une distance sur
Topologie générale
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Topologie générale
par ZLM » 25 Aoû 2018, 20:11
Bonsoir, s'il vous plaît aidez-moi à résoudre cet exercice.
Exercice
On note)
l'ensemble des fonctions 
de classe 
sur 
qui vérifient : =\underset{x\in\pmb{\mathbb{R}}}{\sup}|x^\alpha f^{(\beta)}(x)|<\infty)
pour tout 
.
Pour
, })
est la dérivée d'ordre 
de et }=f)
.
1) Montrer que la topologie définie sur par la famille des semi-normes _{\alpha,\beta \in\pmb{\mathbb{N}}})
est équivalente à celle définie par la famille _{n,m\in\pmb{\mathbb{N}}})
où=\underset{\alpha\leq n}{\max}\,\,\underset{x\in\pmb{\mathbb{R}}}{\sup}(1+|x|)^m|f^{(\alpha)}(x)|)
.
2) montrer que cette topologie est aussi définie par la famille des semi-normes_{N\in\pmb{\mathbb{N}}})
, avec =\underset{x\in\pmb{\mathbb{R}}}{\sup}(1+|x|)^N\sum_{n=0}^{N}{\left| f^{(n)}(x)\right|}<\infty)
pour tout entier 
3) montrer que l'application
définie pour et 
dans par =\sum_{N=0}^{\infty}{2^{-N}}\frac{\rho_N(f-g)}{1+\rho_N(f-g)})
est une distance sur qui définie la même topologie que les semi-normes ci-dessus.
Exercice
On note
Pour
1) Montrer que la topologie définie sur
où
2) montrer que cette topologie est aussi définie par la famille des semi-normes
3) montrer que l'application
est une distance sur
Modifié en dernier par ZLM le 02 Sep 2018, 23:46, modifié 1 fois.
Re: Topologie générale
par Ben314 » 25 Aoû 2018, 20:59
Salut,
Tu as fait quoi pour le moment ? Tu est sec où ?
A priori (j'ai pas vérifié que les calculs étaient sans problèmes), ça semble être une simple application de la définition d'une topologie via des semi-normes donc il faudrait précisé à quel endroit tu bute.
Si c'est "dès le départ", ben à mon sens, ça veut dire que tu n'a pas lu (ou pas compris) comment on défini une topologie via une famille de semi normes. Ou alors c'est que tu sait pas comment montrer, à l'aide de cette définition, que deux familles de semi normes définissent la même topologie mais là, ça devient grave vu que c'est du B-A-BA de topologie : il suffit de regarder si les ouverts sont les mêmes dans les deux cas.
Tu as fait quoi pour le moment ? Tu est sec où ?
A priori (j'ai pas vérifié que les calculs étaient sans problèmes), ça semble être une simple application de la définition d'une topologie via des semi-normes donc il faudrait précisé à quel endroit tu bute.
Si c'est "dès le départ", ben à mon sens, ça veut dire que tu n'a pas lu (ou pas compris) comment on défini une topologie via une famille de semi normes. Ou alors c'est que tu sait pas comment montrer, à l'aide de cette définition, que deux familles de semi normes définissent la même topologie mais là, ça devient grave vu que c'est du B-A-BA de topologie : il suffit de regarder si les ouverts sont les mêmes dans les deux cas.
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius
Re: Topologie générale
par ZLM » 26 Aoû 2018, 15:59
Bonjour Ben314, d'abord mon premier problème est que je ne sais pas quand t'es que deux topologies dites sont équivalentes.
J'ai trouvé une définition et proposition pour les espaces métriques où il est dit que :
Citation :
Définition et Proposition (Equivalence entre distances)
Soit X un ensemble. Deux distances d1 et d2 sur X sont dites :
— Topologiquement équivalentes : si elles définissent la même topologie sur X.
— Uniformément équivalentes : si pour tout R > 0, il existe r > 0 tel que ∀x ∈ X,
Bd1(x,r) ⊂ Bd2(x,R), et Bd2(x,r) ⊂ Bd1(x,R).
— Lipschitz équivalentes : s’il existe deux constantes α,β > 0 telles que αd1 ≤ d2 ≤βd1.
On a les implications immédiates suivantes:
Lipschitz équivalentes ⇒ Uniformément équivalentes ⇒ Topologiquement équivalentes.
Maitenant je ne sais pas si cette définition est aussi valable pour les espaces topologiques. Soit est-ce que je peux utiliser cette proposition pour montrer que les topologies définies par les familles de semi-normes en question de l'exercice sont équivalentes? En remplaçant tout simplement d1 et d2 par les familles de semi-normes en question de l'exercice dans la proposition . Et voici j'ai une proposition pour répondre à ma question.
Bref je suis un peu confus.
J'ai trouvé une définition et proposition pour les espaces métriques où il est dit que :
Citation :
Définition et Proposition (Equivalence entre distances)
Soit X un ensemble. Deux distances d1 et d2 sur X sont dites :
— Topologiquement équivalentes : si elles définissent la même topologie sur X.
— Uniformément équivalentes : si pour tout R > 0, il existe r > 0 tel que ∀x ∈ X,
Bd1(x,r) ⊂ Bd2(x,R), et Bd2(x,r) ⊂ Bd1(x,R).
— Lipschitz équivalentes : s’il existe deux constantes α,β > 0 telles que αd1 ≤ d2 ≤βd1.
On a les implications immédiates suivantes:
Lipschitz équivalentes ⇒ Uniformément équivalentes ⇒ Topologiquement équivalentes.
Maitenant je ne sais pas si cette définition est aussi valable pour les espaces topologiques. Soit est-ce que je peux utiliser cette proposition pour montrer que les topologies définies par les familles de semi-normes en question de l'exercice sont équivalentes? En remplaçant tout simplement d1 et d2 par les familles de semi-normes en question de l'exercice dans la proposition . Et voici j'ai une proposition pour répondre à ma question.
Bref je suis un peu confus.
Re: Topologie générale
par Ben314 » 26 Aoû 2018, 23:30
Désolé, effectivement, j'ai lu un peu vite l'énoncé et j'ai pas fait gaffe au fait que là :
A mon avis l'auteur s'est emmêle les pinceaux et ce qu'il voulais dire, c'est que les deux familles de semi normes étaient équivalentes avec comme définition de "équivalente" dans ce contexte la même que pour les distances, c'est à dire que les topologies engendrées sont les mêmes.
Bref, dans l'énoncé, tu remplace ce "est équivalente à" par "est la même que".
le terme employé est celui de "topologies équivalentes" qui rend le truc plutôt obscur vu que la notion de "topologies équivalente" n'a pas de définition mathématique.ZLM a écrit:1) Montrer que la topologie définie sur
A mon avis l'auteur s'est emmêle les pinceaux et ce qu'il voulais dire, c'est que les deux familles de semi normes étaient équivalentes avec comme définition de "équivalente" dans ce contexte la même que pour les distances, c'est à dire que les topologies engendrées sont les mêmes.
Bref, dans l'énoncé, tu remplace ce "est équivalente à" par "est la même que".
Modifié en dernier par Ben314 le 27 Aoû 2018, 23:28, modifié 1 fois.
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius
Re: Topologie générale
par ZLM » 27 Aoû 2018, 22:49
Ok. Merci d'avance. Mais pouvez-vous me donner quelques indications pour débuter la question 1?
Modifié en dernier par ZLM le 30 Aoû 2018, 01:01, modifié 1 fois.
Re: Topologie générale
par Ben314 » 27 Aoû 2018, 23:32
Ben les "indications", je te les ait déjà donné :
- C'est quoi la définition d'une "topologie engendrée par une famille de semi norme" ?
Et plus précisément, comment sont caractérisés les ouverts de cette topologie.
- Est-ce que ces ouverts sont aussi des ouverts pour la topologie engendrée par la deuxième famille de semi norme ?
- C'est quoi la définition d'une "topologie engendrée par une famille de semi norme" ?
Et plus précisément, comment sont caractérisés les ouverts de cette topologie.
- Est-ce que ces ouverts sont aussi des ouverts pour la topologie engendrée par la deuxième famille de semi norme ?
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Re: Topologie générale
par ZLM » 28 Aoû 2018, 18:38
Bonsoir,
Pour cela , on peut caractérisé les ouverts de par les réunions de semi-boules :
 / pour\,\, tout\, \alpha, \beta\in \pmb{\mathbb{N}}: P_{\alpha,\beta}(g-f)<r \right\})
. où )
et 
.
Montrons que ces ouverts sont aussi les ouverts pour la topologie engendrée par la famille de semi-norme_{n,m\in \pmb{\mathbb{N}}})
.
Voici ce que je vois selon vos indications. Maitenant comment Montrer que ces ouverts sont aussi les ouverts pour la topologie engendrée par la famille de semi-norme?
Pour cela , on peut caractérisé les ouverts de
Montrons que ces ouverts sont aussi les ouverts pour la topologie engendrée par la famille de semi-norme
Voici ce que je vois selon vos indications. Maitenant comment Montrer que ces ouverts sont aussi les ouverts pour la topologie engendrée par la famille de semi-norme
Modifié en dernier par ZLM le 29 Aoû 2018, 01:39, modifié 1 fois.
Re: Topologie générale
par aviateur » 28 Aoû 2018, 18:56
Bonjour
Il y au moins un truc qui saute aux yeux. C'est qu'une semi norme de ta première famille peut facilement être majorée par une semi norme de la seconde famille.
Une question concernant les ouverts. D'après ta définition des ouverts de la topologie associée à la famille des semi-norme, si tu prends l'intersection de 2 semi boules, est-ce que c'est un ouvert?
Il y au moins un truc qui saute aux yeux. C'est qu'une semi norme de ta première famille peut facilement être majorée par une semi norme de la seconde famille.
Une question concernant les ouverts. D'après ta définition des ouverts de la topologie associée à la famille des semi-norme, si tu prends l'intersection de 2 semi boules, est-ce que c'est un ouvert?
Re: Topologie générale
par ZLM » 30 Aoû 2018, 00:41
Bonjour,
Concernant la majoration, j'ai cherché et je n'ai pas trouvé.
Pouvez-vous me donner quelques indications ?
Évidemment l'intersection des deux semi-boules est un ouvert. Puisque une intersection finie d'ouvert est un ouvert
aviateur a écrit:Il y au moins un truc qui saute aux yeux. C'est qu'une semi norme de ta première famille peut facilement être majorée par une semi norme de la seconde famille.
Concernant la majoration, j'ai cherché et je n'ai pas trouvé.
Pouvez-vous me donner quelques indications ?
aviateur a écrit: Une question concernant les ouverts. D'après ta définition des ouverts de la topologie associée à la famille des semi-norme, si tu prends l'intersection de 2 semi boules, est-ce que c'est un ouvert?
Évidemment l'intersection des deux semi-boules est un ouvert. Puisque une intersection finie d'ouvert est un ouvert
Re: Topologie générale
par aviateur » 30 Aoû 2018, 11:15
Bonjour,
Concernant ma remarque: soit
on a pour tout 
:
}(x)| =|x|^\alpha| f^{(\beta)}(x)|\leq (1+|x|)^\alpha| f^{(\beta)}(x)|)
}(x)| \leq q_{\alpha,\beta} (f))
D'où \leq q_{\alpha,\beta} (f))
Bon si on se contente de cela pour l'instant, d'après toi qu'est ce qu'on peut en tirer?
Concernant ma remarque: soit
D'où
Bon si on se contente de cela pour l'instant, d'après toi qu'est ce qu'on peut en tirer?
Re: Topologie générale
par ZLM » 31 Aoû 2018, 01:21
Bonjour,
Grâce à cette démonstration , on peut voir que les deux semi-normes sont équivalentes. Soit elles définies la même topologie.
Et je trouve que la question 1 est résolu.
aviateur a écrit:,
Concernant ma remarque: soit
D'où
Grâce à cette démonstration , on peut voir que les deux semi-normes sont équivalentes. Soit elles définies la même topologie.
Et je trouve que la question 1 est résolu.
Re: Topologie générale
par aviateur » 31 Aoû 2018, 01:37
Et bien non ce ne pas suffisant. Il y a deux familles de semi-normes en jeu. Pour simplifier, ces familles je les appellerai P et Q.
Soit
(resp 
) la topologie associée aux semi-normes de la famille P (resp Q).
La topologie est la topologie la plus petite (au sens de l'inclusion) qui rend les semi-normes semi-normes 
continues. Idem pour T_q.
L'inégalité démontrée ci-dessus montre que toute semi-norme de la famille P est continue pour la topologie
. La topologie rend les semi-normes de P continues. Donc par définition de T_p on a
Cela ne démontre pas l'égalité.
Mais on voit bien qu'un travail analogue est à faire pour finir la démonstration.
Soit
La topologie
L'inégalité démontrée ci-dessus montre que toute semi-norme de la famille P est continue pour la topologie
Cela ne démontre pas l'égalité.
Mais on voit bien qu'un travail analogue est à faire pour finir la démonstration.
Re: Topologie générale
par ZLM » 01 Sep 2018, 01:21
Pour la démonstration analogue je suis un peu perdu, j'ai essayé mais je n'arrive pas.
Maintenant je me demande est-ce que à partir de là on ne peut pas dire que 
est plus fine que . Soit les ouverts de sont aussi les ouverts de et puisqu'elles ont les mêmes ouverts alors elles définies la même topologie.
Maintenant je me demande est-ce que à partir de là
Re: Topologie générale
par aviateur » 01 Sep 2018, 10:43
Oui est plus fine que mais est-ce que pour autant cela veut dire que
? Une inclusion c'est tout de même pas une égalité.
Pour l'inclusion réciproque: D'abord il faut corriger)
(c'est 
)
Ensuite par quoi tu peux majorer^m |f^{\alpha}(x)|)
????
Pour l'inclusion réciproque: D'abord il faut corriger
Ensuite par quoi tu peux majorer
Re: Topologie générale
par ZLM » 03 Sep 2018, 01:54
La correction sur est faite.
Maintenant je vois cette majoration. Mais est-ce que sa m'arrange?
Pour tout
,
^m\leq 2^m|x|^m+2^m)
^m|f^\alpha(x)|\leq 2^m|x|^m|f^\alpha(x)|+2^m|f^\alpha(x)|)
Maintenant je vois cette majoration. Mais est-ce que sa m'arrange?
Pour tout
Modifié en dernier par ZLM le 05 Sep 2018, 01:31, modifié 1 fois.
Re: Topologie générale
par aviateur » 03 Sep 2018, 11:53
Oui et il faut continuer à majorer + p_{\alpha,0}(f))
Comme c'est pour tout x tu peux passer au sup à gauche.
Ensuite tu ajoutes toutes ces inégalités membre à membre pour
de zéro à n.
L'idée c'est que tu vas obtenir une majoration de
par une constante fois une somme finie de  (f))
(à toi d'écrire cela correctement)
Maintenant la topologie rend tous les )
continues donc aussi la somme finie qui majore 
. Et par suite la majoration fait aussi que est continue pour cette topologie.
Donc "tous les q_{n,m} sont continues pour T_p......
Comme c'est pour tout x tu peux passer au sup à gauche.
Ensuite tu ajoutes toutes ces inégalités membre à membre pour
L'idée c'est que tu vas obtenir une majoration de
Maintenant la topologie
Donc "tous les q_{n,m} sont continues pour T_p......
Re: Topologie générale
par aviateur » 04 Sep 2018, 08:45
ZLM a écrit:Dans ce cas, je pense nous avons un problème.
Dans ce cas tu as un problème, pas moi. Rien ne change au raisonnement et puis tu corriges ton erreur:
Re: Topologie générale
par ZLM » 05 Sep 2018, 01:16
Bonjour, merci pour la correction.
Pour la majoration voici ce que je propose selon vos indications :
Pour tout,
^m|f^{(\alpha)}(x)|\leq 2^m|x|^m|f^{(\alpha)}(x)|+2^m|f^{(\alpha)}(x)|)
^m|f^{(\alpha)}(x)|\leq 2^m\underset{x\in\pmb{\mathbb{R}}}{\sup}|x^mf^{(\alpha)}(x)|+2^m \underset{x\in\pmb{\mathbb{R}}}{\sup}|f^{(\alpha)}(x)|)
^m|f^{(\alpha)}(x)|\leq 2^m (\underset{x\in\pmb{\mathbb{R}}}{\sup}|x^mf^{(\alpha)}(x)|+\underset{x\in\pmb{\mathbb{R}}}{\sup}|f^{(\alpha)}(x)|))
^m|f^{(\alpha)}(x)|\leq2^m(p_{\alpha,m}(f) +p_{\alpha,0}(f)))
^m|f^{(\alpha)}(x)|\leq 2^m(p_{\alpha,m}(f)+p_{\alpha,0})\leq 2^m\sum_{i\leq\alpha , j\leq m}p_{i,j}(f))
^m|f^{(\alpha)}(x)|\leq \underset{\alpha\leq n}{\max}\, 2^m\sum_{i\leq\alpha , j\leq m}p_{i,j}(f))
^m|f^{(\alpha)}(x)|\leq C \sum_{i\leq\alpha , j\leq m}p_{i,j}(f))
où 
Pour la majoration voici ce que je propose selon vos indications :
Pour tout
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