Topologie (compacité/complétude)

[Julien8]

Salut à tous, voici un exercice que je n'arrive pas à faire.. La topologie c'est vraiment pas mon truc je comprend pas..

Soit (X,d) un espace métrique. On suppose que pour tout a de X, la boule fermée de centre a et de rayon 1 est compacte.

(a) Montrer que X est complet.
(b) Si YcX est une partie compacte de X, montrer que l'ensemble:
Y^1/2={a / Il existe b dans K , d(a,c)<=1/2}
est compact.


Je connais toute les définitions (complet/compact/métrique) mais je ne sais pas comment commencer..

Merci à tous.

[girdav]

a) Prends une suite de Cauchy : on peut trouver un entier tel que pour , . Comme la boule de centre et de rayon est compacte...

b) Extraits du recouvrement ouvert un sous-recouvrement fini de .

[Julien8]

Coucou! Merci de ta réponse. Effectivement la question 1 est finalement assez simple, dommage que je n'ai pas vu tout de suite merci.

Pour la deux je reste perplexe.. Le truc serait de montrer que chaque point de ce Y est inclus dans une boule défini compacte par l'énoncé non?
Cependant on aurait une réunion non finie non?

[girdav]

On a notre sous-recouvrement fini . Un élément de se trouve à une distance plus petite que d'un des .

Partant d'un recouvrement ouvert de , on extrait un sous-recouvrement fini de , puis de l'union des .

[Julien8]

Merci de ta réponse même si je dois t'avouer ne pas tout comprendre.. pourtant j'essaie.

Les yi sont des éléments de Y?

Ok donc on a un sous recouvrement fini de B(yi,1/2) car c'est inclus dans une boule compacte donc ok ok.

"Un élément de Y^1/2 se trouve à une distance plus petite que 1/2 d'un des yi"..mm..

[girdav]

Merci de ta réponse même si je dois t'avouer ne pas tout comprendre.. pourtant j'essaie.

Les yi sont des éléments de Y?
.

Oui.

"Un élément de Y^1/2 se trouve à une distance plus petite que 1/2 d'un des yi"..mm.

J'ai pris garde à écrire plus petit que 1.

[Julien8]

Oups, oui, plus petit que 1 pardon.
Enfin bref je comprend rien à la suite tant pis c'est pas grave. Merci quand même de ton aide!

[girdav]

Soient tels que . Soit ; il existe tel que . Comme pour un certain , pour ce . Donc , et il s'ensuit que est précompact. Il reste à voir que cet ensemble est fermé.

[Julien8]

MM d'accord, je comprend mieux.

C'est fermé parce que le complémentaire c'est ={a / quelque soit b dans K , d(a,b)>1/2}
Et c'est ouvert

Merci de ton aide!

[girdav]

Oui (peut-être rajouter une ligne pour montrer que le complémentaire est ouvert).