Calcul Différentiel

[Elvis]

Bonjour,

Voilà, je bloque sur plusieurs questions d'un exercice. Si vous pouviez me donner un p'tit coup de pouce ...

1) Montrer que l'application f : E -> E (avec E = espace vecto. des polynômes) définie par f (P) = P' n'est pas continue sur E.
(E est muni de la norme ||P|| = sup |P(x)| pour 0<=x<=1
Remarque : si f est continue, alors il existe une constante C > 0 tel que
||f(P)|| <= C ||P||

Mais je n'arrive pas à trouver de contre-exemple en raisonnant par l'absurde.


2) E = espace vecto. des suites réelles x = (x_n) (avec n un naturel) vérifiant
lim x_n = 0 quand x -> + infini
||x|| = sup |x_n| (avec n appartenant aux naturels)

Montrer que ||.|| est bien définie.

Pour cette question il faut démontrer que le sup de |x_n| existe, mais je ne vois pas trop comment m'y prende.

Merci d'avance.

[ThSQ]

1) Par ex prends

2) Une suite convergente est bornée

[Elvis]

J'avais aussi pris le contre-exemple de P(x) = x^n.
Mais j'avais raisonné en disant que si f est continue alors :
n < C (après être passé au Sup de la fonction et de sa dérivée).
Mais c'est beaucoup plus clair maintenant. Merci beaucoup.