Calcul différentiel et fonctions positivement homogènes

[neuneu]

Bonjour
Je suis actuellement en révision pour mes premiers Ds ( je suis en 3ème année de licence de maths) et je suis en total déprime... je n'arrive à rien...
Mon prof nous a donné les partiels de l'année dernière et c'est horrible! Je n'arrive à rien faire.Si vous pouviez m'aider sur quelques questions sur un exo je vous en serais très reconnaissante. Mais ne vous inquiétez pas je n'envoie pas tout...c'est un peu long pgk j'ai détailler.J'ai mis en bleu les questions et en noir mes commentaires. Et s'il vous plait ne vous moquez pas...

1ère question: Pour un ouvert U de V=R^n on note û l'ensemble
û:={ (t,x) E R*U | tx E U }
Mq û est un ouvert de R*R^n qui contient {0}*U

Je croyais que pour montrer qu'un ensemble était ouvert il fallait trouver une boule ouverte inclue dans cet ensemble, mais ici il n'y a pas de norme...
Sinon quand on a une fonction continue on utilise f-1 ( d'ailleurs je n'ai jamais compris cette méthode)

Après on part sur les fonctions " positivement homogènes de degré k "
On dit que f:U ds W=R^m est une application positivement homogène de degré k si , pour tout (r,x) E û, r>0, on a f(rx) = (r^k)*f(x)

2ème question: ||r|| est la norme euclidienne
Montrer que ces applications sont de classe C1 et calculer la différentielle Df(x). On pourra utiliser la règle de calcul différentielle d'une application composée:
a)f: V ds W , f(x)=x^alpha alpha appartenant à R
b)f:V\{0} ds V, f(x)=(|| x ||^(2-alpha))*x alpha appartenant à R

Je ne vois pas du tout comment il faut faire... Et pourquoi lorsqu'on demande de calculer Df(x) on donne à la fin Df(x)(v) ( c'est ce que je fais dans mes tds).

3ème et dernière question ( je ne vais quand même pas abuser de votre aide...):f application C1 positivement homogène de degré k
Mq f vérifie la "relation d'Euler" cad (Df(x))(x)=kf(x). Puis mq Df(rx)=r^(k-1) Df(x)
Indication: écrire (Df(x))(x) et (Df(x))(v)sous forme de limite

Ce que j'ai "tenté" de faire:pour le 1er
lim qd t tend vers 0 (f(x+tx)-f(x))/t
(f(x+tx)-f(x))/t = (f(x(1+t))-f(x))/t = ( f(x)*( (1+t)^k -1 ))/t et après...

pour le 2ème:
lim qd t tend vers 0 (f(x+tv)-f(x))/t mais je ne sais pas comment continuer

Merci d'avance pour votre aide.
Bonne journée

[tize]

Pour la première c'est assez facile puisque la fonction qui à est continue (peut être à montrer : facile) et Û=. f est continue donc l'image réciproque d'un ouvert est un ouvert et puisque U est ouvert, Û est ouvert...
...qui contient cela veut dire que pour tout autrement dit l'ouvert U contient 0 ce que tu ne nous à pas dis ... ou alors est-ce ?

[Yipee]

Pour la deuxième question je ne comprends pas ce qu'est l'application définie sur V.

[neuneu]

Excuser moi pour ma réponse un peu tardive...j'ai quelques problèmes d'ordi.
Merci d'abord à Tize pour ta réponse. C'est peut être bête mais comment est-ce que tu sais que Û=f-1 (U) parce qu'une fois que j'ai çà je comprend ce que tu dis.
Et c'est bien {0} qu'on me demande et je ne sais pas si 0 appartient à U...

Sinon pour Yipee f(x)=x^alpha est une fonction qu'on me donne.
On me demande de prouver qu'elle est positivement homogène ( ce que j'ai réussi ) puis de montrer qu'elle est de classe C1 et calculer la différentielle
Df(x)
De même avec l'application b)

voilà merci. sinon ct est ce que vous faites pour avoir des signes mathématiques dans vos messages svp ( par exemple pour écrire Û=f-1 (U) )