Soient
Soit
Posons :
Questions :
On suppose, désormais que :
La question
Merci d'avance de votre aide !!
Calcul differentiel !
36 messages
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par barbu23 » 08 Oct 2007, 23:56
Bonsoir :
Soient $)
, $)
et  $)
trois espaces vectoriels normés de dimension non necessairement finie.
Soit
un ouvert de 
et considèrons 
une application bilinéaire continue et 
et 
deux applications 
sur 
avec : 
.
Posons :
 = B(f(x),g(x)) $)
Questions :
 $)
Montrer que : 
est de classe sur
 $)
Calculer 
et 
: (h) $)
On suppose, désormais que :
 $)
Exprimer  $)
à l'aide, entre autres , des applications suivantes :
 \hspace{10cm} \longrightarrow \hspace{10cm} \mathcal{L}(E,G) $)
 \hspace{38cm} \longrightarrow \hspace{10cm} B_{1}(y,L) \hspace{10cm} : \hspace{10cm} E \hspace{10cm} \longrightarrow \hspace{10cm} G $)
) $)
 \hspace{10cm} : \hspace{10cm} \Omega \hspace{10cm} \longrightarrow \hspace{10cm} F \times \mathcal{L}(E,F) $)
(x) = (f(x),Dg(x)) $)
 $)
Montrer que : est bilinéaire continue .
La question, et  $)
sont résolues ... il reste la 
.
Merci d'avance de votre aide !!
Soient
Soit
Posons :
Questions :
On suppose, désormais que :
La question
Merci d'avance de votre aide !!
par legeniedesalpages » 08 Oct 2007, 23:59
Bonsoir,
il faut sûrement montrer que les quatre propriétés caractérisant une application bilinéaire sont vérifiées, non?
il faut sûrement montrer que les quatre propriétés caractérisant une application bilinéaire sont vérifiées, non?
par barbu23 » 09 Oct 2007, 00:06
Comment ça 4 .. ! il n'y'a que deux : linéarité à gauche et lineéarité à droite ... ! non ?
par legeniedesalpages » 09 Oct 2007, 00:19
énoncé comme ça oui, mais la définition que j'ai, c'est
\qquad B_1(x_1+x_2,y)=B_1(x_1,y)+B_1(x_2,y),\\<br />(2)\qquad B_1(\lambda x,y) = \lambda B_1(x,y),\\<br />(3)\qquad B_1(x,y_1+y_2)=f(x,y_1)+B_1(x,y_2),\\<br />(4)\qquad B_1(x,\mu y)=\mu B_1(x,y))
quels que soient
dans 
, 
dans )
, et 
dans
Je la trouve plus explicite, mais après c'est une question de goût je pense.
quels que soient
Je la trouve plus explicite, mais après c'est une question de goût je pense.
par barbu23 » 09 Oct 2007, 00:27
On a : (h) = B(y+y',L(h)) $)
et puisque 
est bilinéaire continue alors est linéaire par rapport à la première composante 
.
D'où :(h) = B(y+y',L(h)) = B(y,L(h)) + B(y',L(h)) = B_{1}(y,L)(h) + B_{1}(y',L)(h) $)
c'est à dire :
= B_{1}(y,L)+ B_{1}(y',L) $)
On a :(h) = B(y,(L+L')(h)) = B(y,L(h)+L'(h)) $)
et puisque est bilinéaire continue alors est linéaire par rapport à la deuxième composante 
.
D'où :(h) = B(y,L(h)+L'(h)) = B(y,L(h)) + B(y,L'(h)) = B_{1}(y,L)(h) + B_{1}(y,L')(h) $)
c'est à dire :
= B_{1}(y,L)+ B_{1}(y,L') $)
Donc :
est bilinéaire !
D'où :
c'est à dire :
On a :
D'où :
c'est à dire :
Donc :
par legeniedesalpages » 09 Oct 2007, 00:31
barbu23 a écrit:oui, j'ai oublié la multiplication par un scalaire !!
non tu n'as rien oublié,
(1) et (2) traduisent la linéarité à gauche,
(3) et (4) traduisent la linéarité à droite.
Reste à voir que
Pour la continuité, ça va au-delà de mes capacités, avec cette hietoire de "normes non nécessairement finie".
par barbu23 » 09 Oct 2007, 15:14
Bonjour :
Est ce que : , \mathcal{L}(E,G)) $)
?
En corrigé, il ecrivent} $)
au lieu de  , \mathcal{L}(E,G)) $)
.. ! Est ce que c'est la même chose ?! Est ce que celà veut dire que :  , \mathcal{L}(E,G)) $)
est isomorphe à  $)
Merci d'avance !!
barbu23 a écrit:On a :
Donc :
signifie que
Est ce que :
En corrigé, il ecrivent
Merci d'avance !!
par legeniedesalpages » 09 Oct 2007, 21:48
j'ai bien vu ta question barbu, mais je n'y connais rien encore aux normes d'applications bilinéaires et de plus en dimension infinie. Je pense que je verrais ça au semestre 6 en analyse hilbertienne.
Apparemment dans ta fac, ils sont plus bourrins que dans la mienne :)
Apparemment dans ta fac, ils sont plus bourrins que dans la mienne :)
par legeniedesalpages » 09 Oct 2007, 21:49
Je pense que c'est faux en dimension finie.
par barbu23 » 10 Oct 2007, 01:34
oui, en appliquant la propriété qui dit que:
Deux espaces vectoriels sont isomorphes si et seulement s'ils ont la même dimension !!
Deux espaces vectoriels sont isomorphes si et seulement s'ils ont la même dimension !!
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