Calcul différentiel

[sandrine_guillerme]

Bonjour tout le monde,

J'ai un devoir ce matin à 9h (je ne suis pas encore couchée)
je travail un DS de l'an dernier, certes mais j'ai un petit souci dans la dernière question, je fais donc appel à vous ..

voici le sujet :

soit A= {(x,y) dans x>0 }
Soit h : R -> R une fonction de classe C^1 . Soit g : A->R la fonction définie par g(x,y)= h(y/x)
g est C^1, et xdg(x,y)/dx + ydg(y)/dy = 0 .

soit phi : A ->A l'application définit par phi(u,v) = (u,uv)
et soit f : A->R fonction de C^1 qui vérifie
xdf(x,y)/dx + ydf(x,y)/dy = 0 . pour tout (x,y) dans A .

1/ On pose F = f o phi Montrer que F est C^1, et que et que dF(u,v)/du = 0
(c'est fait)

En déduire que f est de la forme f(x,y)= h(y/x) avec h une fonction de C^1
je vois pas trop comment faire là ..

Merci d'avance ..

[fahr451]

bonjour

dF/du = 0 sur A qui est un pavé donc F est constante / u


donc F fonction du seul v il existe h : R ->R C1 avec

F(u,v) = h(v)

u = x ; uv = y soit v = y /x

[sandrine_guillerme]

Oki,
Merci fahr

autre question ..

comment démontrer qu'une fonction positivement homogéne de degré a
vérifie
xdf/dx + ydg/dy = af(x,y)

J'ai écris la définition et j'ai dérivé les deux égalités mais il y a un t^a-1 qui reste ..


C'est correct ?

[fahr451]

faire t = 1

[sandrine_guillerme]

mais dans la défintion d' une fonction positivement homogène, on dis c'est pour tout t strictement positif non ?

[fahr451]

f(tx,ty) = t^a f(x,y) en dérivant /t

xdf/dx ( tx,ty) + ydf/dy(tx,ty) = at^(a-1) f(x,y)
et t = 1 donne le résultat

[sandrine_guillerme]

Bien sur ,

j'avais cru que ça doit être vérifié pour tout , mais bon je vois là

merci !