Bases orthonormales

[Mathusalem]

Bonsoir,

En me préparant pour mon examen final d'AL, je me posais une question, qui, pour certains d'entre vous, se révélera sûrement une trivialité :

Quelle est l'importance profonde des bases orthonormales ?

Pour cadrer le niveau, on a fait au deuxième semestre : Produit scalaire, Vecteurs Propres, Adjoints, Th.Spectraux, Bases de Jordan et tout ça. Programme typique de première quoi.

Mais pourquoi est-ce que c'est si central d'avoir une base orthonormale ?

Je connais le théorème qui dit que si la base est ON, alors on peut écrire les coeff du vecteur comme . Et il en découle bien des résultats. Autrement, je ne vois pas vraiment sa crucialité.

Si vous voulez bien m'éclairer,
Merci,
Math

[Doraki]

Si je me gourre pas, les applications qui sont des changement de bases orthonormales sont les applications qui conservent le produit scalaire :

=

[vingtdieux]

Rien n'est crucial. Mais dans une base orthornormale la plupart des calculs vectoriels sont plus simples. Malheureusement si on fait plus que des calculs avec de telles bases, les etudiants ont vite fait de generaliser et c'est pour ca par exemple qu'en cristallographie ils se trompent 9 fois sur 10 car les bases réelles sont souvent quelconques ou a la limite orthogonales.
En quantique les bases fonctionnelles sont aussi orthonormees a cause de l'aspect statistique et qu'il faut bien que la somme des probabilités fassent 1. On trouve d'ailleurs la un bon exemple de l'utilisation du procédé de Schmidt.