Bases et dimension

[Anonyme]

Je ne te suis pas du tout, comment vous faites pour connaitre la dimension comme ca à l'oeil nu ?
Je vois pas pourquoi l'equation x=0 définirait un sev de dimension 2 par exemple. :triste: (pourquoi un sev d'une part et pourquoi de dimension 2 d'autre part ?)

Conseil : relis ton cours

pour que tu puisses comprendre que

1) dans
toute droite est définie par une équation cartésienne du type :
avec

2) dans
tout plan est défini par une équation cartésienne du type :
avec

[Anonyme]

Es tu d'accord ? : une droite est un hyperplan dans

[Dante0]

Non quand l'image est plane on dis qu'elle est en 2D. En 3D c'est qu'il y a 3 dimensions. Dans un plan il te suffit de x et y pour entièrmeent déterminer un point, alors que dans l'espace il te faut z aussi. Donc un plan c'est de dimension 2. L'espace réel est de dimension 3.

Pour revenir sur x=0. Tu es d'accord si tu as deux vecteurs (x',y',z') et (x'',y'',z'') appartenant au plan défini par x=0 (i.e x'=x''=0) alors toute combinaison linéaire a(x',y',z')+b(x'',y'',z'') vérifie la même équation ? (a*0+b*0 =0) donc c'est bien un sous espace vectoriel. Très grossièrement pour avoir une intuition de la dimension : la dimension d'un sev c'est le nombre de variables - le nombre de relations (libres) entre elles. Ainsi tu avais 3 variables, mais si tu considères le plan défini par x+y+z=0 alors tu peux définir une variable en fonction des deux autres (par exemple z = -x-y) du coup il n'y a plus que 2 variables nécessaires pour décrire précisément un point dans ton plan.

Est-ce un peu plus clair ?

C'est plus clair oui, en gros le rang c'est comme la dimension quoi... Vu que quand on cherche la dimension on doit observer le nombres de relations libres exact ?

Es tu d'accord ? : une droite est un hyperplan dans

Ok j'ai compris même si on a as abordé ca en cours.
Du coup je dois me servir des propriétés que tu as donné plus haut ? Il n'y a pas un moyen plus "simple" pour répondre aux questions ?

[Anonyme]

@Dante0
J'ai juste essayé de te faire comprendre le lien dans un EV de dimension n entre le nombre de contraintes (indépendantes) et la dimension du SEV généré

Regarde dans un livre de maths , comment on fait pour rechercher une base de ce SEV

[Sylviel]

Le rang de c'est la dimension de l'ensemble d'arrivée d'une application linéaire u. Le rang d'une matrice c'est :
- soit le rang d'une application linéaire associée
- soit la dimension de l'espace généré par les lignes
- soit la dimension de l'espace généré par les colonnes

[Alannaria]

Le rang de c'est la dimension de l'ensemble d'arrivée d'une application linéaire u. Le rang d'une matrice c'est :
- soit le rang d'une application linéaire associée
- soit la dimension de l'espace généré par les lignes
- soit la dimension de l'espace généré par les colonnes

J'avoue que sur cet axe précis, l'intuition ne peut se contenter de l'approximatif en une source collective. La combinaison de concepts s'opère entre une matrice A, l'application linéaire U et la famille de vecteur V.

En algèbre linéaire,

- le rang d'une famille de vecteurs est la dimension du sous-espace vectoriel engendré par cette famille. Pour une famille de vecteurs linéairement indépendants, son rang est le nombre de vecteurs ;
- le rang d'une application linéaire f de E dans F est la dimension de son image, qui est un sous-espace vectoriel de F. Le théorème du rang relie la dimension de E, la dimension du noyau de f et le rang de f ;
- le rang d'une matrice est le rang de l'application linéaire qu'elle représente ou encore le rang de la famille de ses vecteurs colonnes.

[Dante0]

Je me permets de revenir sur le premier post que je pense avoir compris, parce qu'on va sur des notions de plus en plus théoriques...

je suppose que tu es dans R^3
pour la 1), tu peux essayer d'exprimer y en fonction de z et x
x=x
y=2x+z
z=z

donc A=vect{(1,2,0),(0,1,1)} et cette famille est libre. Donc dimA=2

sion tu peux voir directement que A est un hyperplan et dans ce cas, dimA=n-1, ici dimA=2

Sans parler d'hyperplan comment déduis-tu la dimension de A à partir de A=vect{(1,2,0),(0,1,1)} ?
D'ailleurs a quoi correspond cette notation ? (on note pas ca comme ca)

La définition de la dimension à l'air super simple pourtant, on appelle dimension d'un espace vectoriel E, le nombre de vecteurs que comporte n'importe quelle base de cet espace vectoriel.

Donc je suppose que pour dire que dimA = 2 tu as du voir que A=vect{(1,2,0),(0,1,1)} comporte 2 vecteurs tout simplement ?

[zork]

oui A=vect{(1,2,0),(0,1,1)} comporte 2 vecteurs non liés donc famille libre

[Dante0]

oui A=vect{(1,2,0),(0,1,1)} comporte 2 vecteurs non liés donc famille libre

Donc pour trouver la dimension il suffit de compter le nombre de vecteurs libres ?
Par exemple :

X = (1,3,2),(0,1,3),(4,5,7) est de dimension 3 ?

[Sylviel]

non ce que tu as écrit est une famille de 3 vecteurs. L'espace vectoriel engendré par ces 3 vecteurs est de dimension 3.

[Dante0]

non ce que tu as écrit est une famille de 3 vecteurs. L'espace vectoriel engendré par ces 3 vecteurs est de dimension 3.

On parle bien de R3 la ?
D'ailleurs A=vect{(1,2,0),(0,1,1)} est dans R3 ou R2 ? (on regarde les colonnes ou les lignes ou les 2 ?)

[Sylviel]

A est un sous espace vectoriel de R3 de dimension 2. Il est isomorphe à R2.

[Dante0]

Isomorphe a R2 ? C'est-a-dire ? Qu'il a même structure ?

Quand on nous demande une base de A il s'agit de (1,2,0),(0,1,1) ? Le seul moyen de la trouver est de d'exprimer une variable en fonction des 2 autres ?

[Dante0]

up :help: :help:

[Sylviel]

Isomorphe à R² ça veut dire qu'il y a une application linéaire bijective entre ton plan et R². Cela revient à dire qu'ils ont la même structure oui. Par exemple l'ensemble des polynomes de degrés inférieur à 2 : ax²+bx+c est isomorphe à R^3...

[Anonyme]

@Dante0

Es tu en fac de maths ou en prépa ?
As tu suivi un cours de maths sur les espaces vectoriels et sur les systèmes d'équations linéaires (matrices) ?

[Dante0]

@Dante0

Es tu en fac de maths ou en prépa ?
As tu suivi un cours de maths sur les espaces vectoriels et sur les systèmes d'équations linéaires (matrices) ?

Ni l'un ni l'autre.
Mais j'ai compris cet exercice finalement je pense ! Plus qu'a comprendre certaines propriétés maintenant.
Merci encore !