Bases et dimension

[Dante0]

Bonjour,

Soit

1. Donner une base et la dimension de cet ensemble.
2. Même question pour



Pas réussi à mettre les accolades.. :hum:

[DamX]

Bonjour,

Soit

1. Donner une base et la dimension de cet ensemble.
2. Même question pour



Pas réussi à mettre les accolades.. :hum:

Hello,

Tu as essayé quelque chose avant de poster l'exercice ?

Géométriquement, que sont ces deux ensembles ? Et du coup quelle est leur dimension ? (avant meme d'essayer de trouver des bases)

Damien

[Dante0]

Hello,

Tu as essayé quelque chose avant de poster l'exercice ?

Géométriquement, que sont ces deux ensembles ? Et du coup quelle est leur dimension ? (avant meme d'essayer de trouver des bases)

Damien

Pour trouver la dimension il faut pas savoir s'il s'agit d'une base déja ?
Avec la définition de la dimension je vois pas comment repérer comme ca le nombre de vecteurs de cet ensemble... et encore moins le nombre de vecteurs libres...

Je dirais que l'ensemble A représente un plan géométriquement.

[Sylviel]

Oui A est un plan. Et un plan c'est de dimension...

[zork]

je suppose que tu es dans R^3
pour la 1), tu peux essayer d'exprimer y en fonction de z et x
x=x
y=2x+z
z=z

donc A=vect{(1,2,0),(0,1,1)} et cette famille est libre. Donc dimA=2

sion tu peux voir directement que A est un hyperplan et dans ce cas, dimA=n-1, ici dimA=2

[Dante0]

Oui A est un plan. Et un plan c'est de dimension...

Euh.. 3 non ?

je suppose que tu es dans R^3
pour la 1), tu peux essayer d'exprimer y en fonction de z et x
x=x
y=2x+z
z=z

donc A=vect{(1,2,0),(0,1,1)} et cette famille est libre. Donc dimA=2

sion tu peux voir directement que A est un hyperplan et dans ce cas, dimA=n-1, ici dimA=2

Mais en fait comment tu trouves la dimension ? Suivant la définition il faut d'abord trouver une base de l'ensemble considéré et ensuite en déduire la dimension non ? Puisque la dimension correspond au nombre de vecteurs que comporte une base de cet ensemble considéré.
D'après ce que tu as fait trouver la dimension revient à trouver le rang en fait ?

[zork]

A est un hyperplan et dans ce cas, dimA=n-1, ici dimA=2

c'est la définition d'un hyperplan, tu as dû voir cela en cours normalement.

[Dante0]

A est un hyperplan et dans ce cas, dimA=n-1, ici dimA=2

c'est la définition d'un hyperplan, tu as dû voir cela en cours normalement.

Non j'ai pas vu ca en cours, je sais pas de quoi tu parles ^^'
J'avais vu ca sur wikipédia mais ca a l'air loin de mon niveau actuel je pense.

[zork]

précédemment, on avait A=vect{(1,2,0),(0,1,1)} donc la famille {(1,2,0),(0,1,1)} est génératrice de A par définition du Vect

De plus tu remarques que cette famille est libre donc c'est une base de A

[Dante0]

précédemment, on avait A=vect{(1,2,0),(0,1,1)} donc la famille {(1,2,0),(0,1,1)} est génératrice de A par définition du Vect

De plus tu remarques que cette famille est libre donc c'est une base de A

Pour que {(1,2,0),(0,1,1)} génére A il faut qu'on puisse écrire A sous la forme d'une CL des vecteurs de {(1,2,0),(0,1,1)} n'est-ce pas ? C'est le cas ici ?

[zork]

la famille trouvée génère A, puisque si tu remplace x,y,z par 1,2,0 ou 0,1,1 on trouve 0

[Anonyme]

@Dante0

Un truc pour mémoriser cette notion est :
1 contrainte (c'est à dire 1 équation en x,y,z,...etc...) fait que la dimension du sous espace engendré diminue de 1 par rapport à la dimension de l'espace dans lequel tu travailles

2 contraintes (c'est à dire 2 équations en x,y,z,...etc...) (+lire (*)) font que la dimension du sous espace engendré diminue de 2 par rapport à la dimension de l'espace dans lequel tu travailles

...etc....

Commentaire (*)
Les équations en ..... doivent être "non liés"

[Dante0]

la famille trouvée génère A, puisque si tu remplace x,y,z par 1,2,0 ou 0,1,1 on trouve 0

Mais ca revient au même que de dire que les éléments de A forment une CL des vecteurs de cet ensemble ?

@ptitnoir
J'ai jamais rencontré de cas avec deux équations de la forme x+y+z
Dans notre cas on est dans R^3 ce qui veut dire que la dimension de A est de 2 ?

[Anonyme]

@Dante0

Dans

l'équation x=0 (1 contrainte) définit un sous espace vectoriel de dimension 2 (un plan)

Les 2 équations x=0 et y=0 (2 contraintes) définissent l'intersection de 2 plans qui ne sont pas parallèles donc un sous espace vectoriel de dimension 1 (une droite)

Question :
Définir ce que représente les 3 contraintes ? : x=0 et y=0 et z=0

[Dante0]

@Dante0

Dans

l'équation x=0 (1 contrainte) définit un sous espace vectoriel de dimension 2 (un plan)

Les 2 équations x=0 et y=0 (2 contraintes) définissent l'intersection de 2 plans qui ne sont pas parallèles donc un sous espace vectoriel de dimension 1 (une droite)

Question :
Définir ce que représente les 3 contraintes ? : x=0 et y=0 et z=0

Je ne te suis pas du tout, comment vous faites pour connaitre la dimension comme ca à l'oeil nu ?
Je vois pas pourquoi l'equation x=0 définirait un sev de dimension 2 par exemple. :triste: (pourquoi un sev d'une part et pourquoi de dimension 2 d'autre part ?)

[Sylviel]

tu dis qu'un plan c'est en 3D toi ?

[Dante0]

tu dis qu'un plan c'est en 3D toi ?

Moi ?
Un plan ce serait en 3D je pense oui.

[Dante0]

Petit up :hein:

[Sylviel]

Non quand l'image est plane on dis qu'elle est en 2D. En 3D c'est qu'il y a 3 dimensions. Dans un plan il te suffit de x et y pour entièrmeent déterminer un point, alors que dans l'espace il te faut z aussi. Donc un plan c'est de dimension 2. L'espace réel est de dimension 3.

Pour revenir sur x=0. Tu es d'accord si tu as deux vecteurs (x',y',z') et (x'',y'',z'') appartenant au plan défini par x=0 (i.e x'=x''=0) alors toute combinaison linéaire a(x',y',z')+b(x'',y'',z'') vérifie la même équation ? (a*0+b*0 =0) donc c'est bien un sous espace vectoriel. Très grossièrement pour avoir une intuition de la dimension : la dimension d'un sev c'est le nombre de variables - le nombre de relations (libres) entre elles. Ainsi tu avais 3 variables, mais si tu considères le plan défini par x+y+z=0 alors tu peux définir une variable en fonction des deux autres (par exemple z = -x-y) du coup il n'y a plus que 2 variables nécessaires pour décrire précisément un point dans ton plan.

Est-ce un peu plus clair ?

[Alannaria]

Non quand l'image est plane on dis qu'elle est en 2D. En 3D c'est qu'il y a 3 dimensions.
[...]
Est-ce un peu plus clair ?

A titre de culture (à étendre), un point dans l'espace de dimension 4 n'est rien d'autre que la donnée de quatre nombres : x, y, z, t. Les définitions habituelles en dimension 2 et 3 s'adaptent pour définir des objets dans la 4ème dimension. Ainsi on appelle (hyper-)plan l'ensemble des points (x, y, z, t) vérifiant une équation linéaire, de la forme ax+by+cz+dt = e, avec la définition analogue d'un plan dans l'espace. Le plan est bien décrit en 3 dimensions dans ce référentiel courant utilisé en physique des objets en vie. :++: