Arithmetique

[Anonyme]

Bonjour, j'ai bientot un controle d'arithmetique et j'aimerais savoir comment faire les questions du style suivant:
1. Montrer que (Z/10Z)* est cyclique et en déterminer les générateurs.
2. Montrer que (Z/15Z)* n'est pas cyclique. Quel est l'ordre maximum d'un élément du groupe?
Merci de votre aide.

[yos]

Les éléments de Z/10Z* sont les classes des entiers étrangers à 10, c'est-à-dire les classes de 1,3,7,9. Reste à vérifier que l'un de ces 4 éléments engendre les 3 autres. Remarque que Z/10Z* est un groupe multiplicatif.
Essayons avec 3 :
3²=9, 3^3=7, 3^4=1. C'est bon!
(Comme souvent, on confond un élément et sa classe modulo 10).
Donc le groupe est cyclique et 3 est un générateur. Vérifie qu'il y a un (et un seul) autre générateur.
On a donc affaire au groupe de Klein.

Je te laisse chercher les ordres des éléments de Z/15Z* :
il y en a phi(15)=phi(3)phi(5)=2*4=8 éléments, tu dois pouvoir faire ça.

[Anonyme]

merci j'ai bien compris ce que vous avez expliqué mais je voudrais savoir si on a un groupe avec beaucoup plus d'éléments est-on toujours obligé te tester chacun d'entre eux??

[yos]

Ben non, il y a un tas de résultats généraux, mais ça peut nous mener loin.
Exemples :
1) Si le cardinal du groupe est un nombre premier p, alors ce groupe est cyclique (facile car l'ordre d'un élément divise p, et seul l'élément neutre est d'ordre 1).

2) Moins simple : le groupe multiplicatif d'un corps fini est cyclique, en particulier les groupes Z/pZ* où p est premier. Ce sont des groupes d'ordre
p-1.

3) Si n est étranger à phi(n), alors tout groupe d'ordre n est cyclique (pas simple).

Rien de tel que d'exhiber un générateur, et cela ne veut pas dire tout tester.