Arithmétique

[rafbh]

Bonsoir

Si a divise alors ppcm(a,c) divise t'il ppcm(b,c)??
J'aurais tendance à dire oui mais comment?
Merci

[Zweig]

Ben non

a = 4
b = 3
c = 2

PPCM(a,c) = 4, donc a | PPCM(a,c)

Or PPCM(b,c) = 6 qui n'est pas un multiple de 4.

[nuage]

Salut,
divise toujours le ppcm de et .
Il n'y a aucune raison de penser qu'il divise le ppcm de et .
On peut prendre par exemple

[samah]

Bonsoir

Si a divise alors ppcm(a,c) divise t'il ppcm(b,c)??
J'aurais tendance à dire oui mais comment?
Merci

si a divise quoi?
soit claire!!

[raito123]

J'avoue qu'au début j'ai eu un peu de mal mais aprés on comprend qu'il veut dire "a divise b" !

c'est une erreur qu'on peut éviter de signaler !!

[samah]

J'avoue qu'au début j'ai eu un peu de mal mais aprés on comprend qu'il veut dire "a divise b" !

c'est une erreur qu'on peut éviter de signaler !!

qui t'as dit qu'il ne s'agit pas de a divise c??

[samah]

je retire mon intervention
c'est vrai
il s'agit de a divise b

[raito123]

Y a toujours un bouton pour supprimer un message !!

( et c'est vrai qu'on doit prendre le temps de réfléchir à ce qu'on va poster avant de le faire !!)

[samah]

Y a toujours un bouton pour supprimer un message !!

( et c'est vrai qu'on doit prendre le temps de réfléchir à ce qu'on va poster avant de le faire !!)

là avec le sommeil je peux plus reflechir , je suis saturée , :ptdr:
quand j'ai reflechis la premiere fois je me suis dit si a divise c et j'ai trouvé que c'est logique
,, Je suis Bete ,, rrrrr

[Dominique Lefebvre]

là avec le sommeil je peux plus reflechir , je suis saturée , :ptdr:
quand j'ai reflechis la premiere fois je me suis dit si a divise c et j'ai trouvé que c'est logique
,, Je suis Bete ,, rrrrr

Je n'osais pas le dire.... Mais puisque tu insistes!

[_-Gaara-_]

Je n'osais pas le dire.... Mais puisque tu insistes!

Génial lol :ptdr: :ptdr: :ptdr: :ptdr:

[Imod]

La question est donc : si a divise b alors PPCM(a,c) divise PPCM(b,c) .

Il suffit d'appliquer la définition . PPCM(b,c) est le plus petit multiple commun de b et c or PPCM(a,c) est un multiple de b en tant que multiple de a et c'est aussi un multiple de c c'est donc un multiple commun à b et c . Le résultat est alors évident si on se souvient que les multiples communs à b et c sont les multiple de PPCM(b,c) : PPCM(b,c) est un multiple de PPCM(a,c) .

Imod

[Flodelarab]

Par l'absurde:
Si PPCM(a;c) ne divise pas PPCM(b;c) alors PPCM(a;c) a un facteur premier en trop dans sa décomposition en facteurs premiers par rapport à la décomposition en facteurs premiers de PPCM(b;c)
D'où vient il ?
De a ? Comme a divise b, tous les facteurs premiers de a ont leur correspondant dans b. Il ne peut y avoir un facteur surnuméraire. (Puisque les facteurs de c sont les mêmes)
De c ? C'est encore pire. Il ne peut y avoir de facteurs premiers surnuméraires. Tous les facteurs de c sont dans c.

donc PPCM(a;c) divise bien PPCM(b;c)

[lapras]

Flodelarab > Oui PPCM(a,c) peut avoir un facteur premier en trop dans sa décomposition par rapport à PPCM(b,c) mais il peut aussi avoir un facteur premier avec une valuation p-adique supérieure à celle de PPCM(b,c)
en gros ca revient a le faire de maniere directe pour expliquer cela.
la maniere la plus naturelle est pour moi de dire que si


alors où les sont les et les :happy2:

[leon1789]

Par l'absurde:
(...)

C'est le genre de preuves que je n'aime pas du tout car cette démo utilise des choses absolument pas nécessaires (longuement compliquée, utilisant des nombres premiers, théorème de factorisation, raisonnement par l'absurde !) pour démontrer un truc d'une grande simplicité...
Franchement, quel est l'intérêt de cette preuve (mis à part agiter de gros marteaux pour caresser une théière) ? Permet-elle de comprendre un peu mieux la chose ??

La question est donc : si a divise b alors PPCM(a,c) divise PPCM(b,c) .
Il suffit d'appliquer la définition .(...)

Exactement, comme Imod :
si est un multiple commun à et , alors est un multiple commun à et (puisque multiple de )
donc (multiple commun à et ) est un multiple de (diviseur de tout multiple commun à et ).

[lapras]

Leon > Oui mais il faut prouver que tout multiple commun à a et b est un multiple commun à PPCM(a,b) tu passes un peu vite sur le "donc".
Ce n'est pas dur on peut le voir directement avec la décomposition en facteurs premiers. (voir mon message précédent)
Apperement tu n'aimes vraiment pas l'absurde (j'ai déja eu l'occasion d'en discuter avec toi...). Mais reconnais que dans certains types de probleme l'absurde est tres naturel et en plus tres facile à utiliser. (personnellement, j'adore le raisonnemen par l'absurde). Ici effectivement ca ne sert a rien de l'utiliser mais ca dépend des énoncés... Detestes tu ce type de raisonnement au point de ne pas l'utiliser dans un énoncé où son utilisation semble faciliter les choses ?

[leon1789]

Leon > Oui mais il faut prouver que tout multiple commun à a et b est un multiple commun à PPCM(a,b) tu passes un peu vite sur le "donc".

Ce n'est pas dur on peut le voir directement avec la décomposition en facteurs premiers. (voir mon message précédent)

Ok, mais là c'est un problème de définition : pour moi, ppcm(a,b) générateur . Cette définition est 100% algébrique.
L'autre définition (plus petit commun multiple) utilise la relation d'ordre de N, ce qui n'est pas ultra algébrique.

Par ailleurs, la définition se généralise en théorie des nombres, et pas l'autre bien sûr.

Cela dit, en partant de la "mauvaise" définition, je veux bien démontrer que tout multiple commun à a et b est un multiple commun à PPCM(a,b)
(cela se fait en deux petites lignes : penser au reste de la division euclidienne par le PPCM) ...pendant que tu démontres l'existence d'une factorisation en produit de nombres premiers, puis le lien avec le PPCM...

Apparemment tu n'aimes vraiment pas l'absurde (j'ai déjà eu l'occasion d'en discuter avec toi...). Mais reconnais que dans certains types de problème l'absurde est très naturel et en plus très facile à utiliser. (personnellement, j'adore le raisonnement par l'absurde). Ici effectivement ça ne sert a rien de l'utiliser mais ça dépend des énoncés... Détestes tu ce type de raisonnement au point de ne pas l'utiliser dans un énoncé où son utilisation semble faciliter les choses ?

Mon opinion face au raisonnement par l'absurde est partagé : non pas que je lui suis totalement opposé, mais je pense qu'on y gagne à se forcer à rédiger par une preuve directe. (J'écris bien "rédiger", je ne parle pas du brouillon nécessaire avant la rédaction.)

Pour faire un résumé, je pense que le raisonnement par l'absurde A et non B => faux (j'en fait tous les jours, je ne suis pas contre) se fait au brouillon dans un premier temps, ensuite toujours au brouillon, on dégage un A => C et un non B => non C (ce qui est déjà plus précis qu'un simple A et non B => faux), et si possible non B => non A, ou mieux encore A => B. Et enfin, on rédige...

Cet exercice de rédaction est l'occasion de se poser des questions sur les objets manipulés (c'est important en maths de se poser des questions, d'être motivé pour s'en poser) et du coup, avec un bcp de chance, apprendre des choses, développer un autre outil, obtenir une propriété plus forte, etc.

[leon1789]

Cet effort de rédaction, je le pratique depuis des années en algèbre (peut-être que l'analyse, les probas, et autres, ne se prêtent pas à ça... je ne sais pas), et d'après mon expérience personnelle, je soutiens que c'est un très bon exercice qui permet de comprendre des choses (sur les structures, des outils, etc.). Un effort que tous les étudiants devraient essayer de faire !!!

Je ne peux (évidemment) pas vous convaincre par une preuve absolue. Ce qui m'étonne, c'est que bcp de personnes soutiennent le contraire, alors qu'elles mêmes n'ont jamais pratiqué cet effort de rédaction... Personnellement, c'est après plusieurs années que je me suis convaincu de cela.

[leon1789]

est un multiple commun à et , donc multiple commun à et (puisque multiple de ).
Considérons le reste de la division euclidienne de par . Ce reste est multiple de et (puisque et le sont et ). Or , donc . Conclusion : divise .

[leon1789]

Dans l'empressement, je n'avais même pas lu ta remarque et ta démo !

alors où les sont les et les
(...)

Au moins, c'est davantage concret qu'une preuve par l'absurde.

Seule critique, c'est d'utiliser un théorème de factorisation trop fort pour le peu demander. En maths, on aime bien savoir de quoi découle quoi, sans mettre la charrue avant les boeufs.