Arithmétique TS!

[raito123]

Bonsoir,

Quelqu'un peut me montrer comment résoudre ce genre d'équation dans


J'en ai besoin !!!

Merci :++:

[busard_des_roseaux]

bonsoir,


1er cas:


a admet un inverse pour la multiplication, disons u.
l'équation (E) admet pour unique solution 0, comme on le voit
en multipliant les deux membres de l'égalité par u.

possède un inverse ssi a et n sont premiers entre eux (calculer leur pgcd) .
l'inverse est donné par les coefficients de Bezout (u,v)
tels que:
au+nv=1

Ces coefficients de Bezout sont donnés par l'algorithme d'Euclide.

en particulier si n est premier, a non nul, est inversible.



2ème cas:
a n'admet pas d'inverse pour la multiplication.
Ceci arrive si d=pgcd(a,n) > 1.

on pose


avec a' et n' premiers entre eux.

On est ramené au cas précédent avec l'équation:



ax=kn
a' d x = k d n' (dans Z)
a' x = 0 dans Z/n'Z.


dodo :dodo:

[Nightmare]

Salut :happy3:

Déjà Z/nZ est intègre lorsque n est premier.

Donc dans Z/pZ pour p premier ton équation a pour solution unique x=0

Maintenant dans Z/nZ où n est non premier je ne pense pas qu'il y ait de méthode.

Si a est inversible alors x=0
Si a n'est pas inversible il va falloir regarder au cas par cas.

[raito123]

Merci pour vos réponses les gars

En fait ces deux cas je les connaissais déja le nouveau cas c'est quand a n'est pas inversible dans Z/nZ (c'est le but de l'exo)

Alors quelqu'un peut me montrer comment faire ?

Merci

[busard_des_roseaux]

c'est écrit dans mon post.

On remonte l'équation dans Z.

On divise par d=pgcd(a,n)

On redescend l'équation dans Z/n'Z avec n=dn'.

[raito123]

2ème cas:

a n'admet pas d'inverse pour la multiplication.
Ceci arrive si d=pgcd(a,n) > 1.

on pose


avec a' et n' premiers entre eux.

On est ramené au cas précédent avec l'équation:

a' x = 0 dans Z/n'Z.

Merci

Je la fais et je te répond !!

[raito123]

c'est écrit dans mon post.

On remonte l'équation dans Z.

On divise par d=pgcd(a,n)

On redescend l'équation dans Z/n'Z avec n=dn'.

Merci !!

Bonne nuit à toi !!(moi je vais approfondir car y a vraiment quelqu'un qui me cherche Il se reconnaitra :lol4:)

[raito123]

c'est écrit dans mon post.

On remonte l'équation dans Z.

On divise par d=pgcd(a,n)

On redescend l'équation dans Z/n'Z avec n=dn'.

Donc pour simplifier : Avec ?