Arithmétique

[Kenneth]

Bonjour.
Je bloque sur un exo d'arithmétique (n'ayant pas pris la spé maths l'an dernier...) que voici :

Montrer que pour tout entier n>=14, il existe une solution à l'équation :

3x+5y=n+1, avec (x,y) dans N²

Et en déduire tous les entiers n pour lesquels 3x+5y=n possède une solution dans N² (pour cette seconde partie, je ne vois rien d'autre qu'une vérification des rangs 0 à 13... Il y a sans doute mieux?)

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J'ai superposé les solutions des équations:
3x+5y=1
3x+5y=n

et j'obtiens :

x=2+2n-5p-5q
y=-1-n+3p+3q

avec p et q relatifs

ce qui me ramène à résoudre

2+2n-5p-5q>=0
y=-1-n+3p+3q>=0

2(1+n)>=5(p+q)
3(p+q)>=(1+n)

J'obtiens donc

E(2(n+1)/5)>=p+q>=E((n+1)/3)

Et là, je ne sais vraiment plus quoi faire...


Toute aide serait la bienvenue


NB : n'ayant pas trouvé de balise pour supérieur ou égal à, j'ai utilisé >=

[lapras]

salut,
c'est une équation diophantienne linéaire, vue... en spé maths !
Tu peux trouver de tres bons cours dessus qui te disent que si il y a un couple (x0 ; y0) solution, alors il y a une infinité de solutions :)

[Kenneth]

Oui mais là en occurence 'p' et 'q' parcourent Z et je cherche à résoudre dans N² donc je ne sais trop comment le démontrer :s


EDIT : En effet le problème était trivial, c'est moi qui l'avait abordé sous le mauvais angle. Merci à vous deux. ;)

[leon1789]

salut,
c'est une équation diophantienne linéaire, vue... en spé maths !
Tu peux trouver de tres bons cours dessus qui te disent que si il y a un couple (x0 ; y0) solution, alors il y a une infinité de solutions

oula > fichtre !
Est-ce que ax+by =c à résoudre dans R^2 est une équation polynomiale ? bof...


bon, personnellement, ça me fait penser à Bezout tout simplement. Ensuite, il faut écrire deux relations de Bezout entre 3 et 5, et "bidouiller"...

a suivre

[leon1789]

Je crois que la bonne question à se poser est
>

On voit alors que 14 (ou 13 ou 15...) n'est pas la bonne borne, mais n=8.

[leon1789]

On a deux relations de Bezout "de base" entre 3 et 5 :
1 = 3.2+5.(-1) et 1 = 3.(-3)+5.2

ainsi n-1 = 3(x-2)+5(y+1) = 3(x+3)+5(y-2)

Si n-1 n'est pas dans 3N+5N alors x-2<0 et y-2<0, c'est-à-dire et donc .

Conclusion : tout nombre supérieur ou égal à 8 appartient à 3N+5N.

Reste à tester à la main 0,1,2,3,4,5,6,7...

[ThSQ]

Cas particulier du classique théorème de Frobenius (voir poly arithmétique d'animath) :
Si pgcd(a,b)=1 tout nombre > ab-a-b s'écrit ax+by avec x,y >= 0.