Arithmétique!

[raito123]

Bonjours,

on me demande de trouver tous les nombres entier a et b tel que:
.

Je pense que je dois écrire l'equation sous la forme :

Puis j'aurais deux systémes et je trouve a et b!!

Alors est-ce la bonne piste!

[ThSQ]

Alors est-ce la bonne piste!

Modulo le fait que c'est aussi 1x51 c'est une bonne piste.

[raito123]

Modulo le fait que c'est aussi 1x51 c'est une bonne piste.

Oui merci donc je dois poser toute les possibilité merci!!

Y en a une autre que j'arrive pas à faire Résoudre dans

J'ai pensé à poser ....

[leon1789]

Comme Z/71Z est un corps dans lequel , on peut utiliser la formule habituelle pour résoudre les équations de degré 2.

On trouve -1/4 et 3/4 ... Pour terminer proprement, il suffit de calculer l'inverse de 4 modulo 71

[raito123]

Calcul du déterminant et tout ça?

[leon1789]

Calcul du déterminant et tout ça?

oui ! :we: tout simplement

EDIT : (sur un corps où ) une équation du second degré possède au moins une solution si et seulement si son discriminant est un carré.

[raito123]

il suffit de calculer l'inverse de 4 modulo 71

Dsl je te suit pas bien!
C'est ma premiére equation de ce genre !!

Normalement j'utilise le tableau mais là c'est impossible d'utiliser un tableau avec 71 chiffre !!!

[leon1789]

Dsl je te suit pas bien!
C'est ma premiére equation de ce genre !!

Normalement j'utilise le tableau mais là c'est impossible d'utiliser un tableau avec 71 chiffre !!!

Effectivement, le tableau est hors de portée :triste:

Le discriminant de l'équation est 256 , c'est-à-dire 16^2 (quelle chance, le calcul de la racine carrée est immédiat : ça aurait pu être pire !)
Les solutions sont donc , c'est-à-dire -1/4 et 3/4.

... Pour terminer proprement (je veux dire, sans fraction), il suffit de calculer l'inverse de 4 modulo 71 . Pour ça, remarquer que 72 est un multiple de 4.

[ThSQ]

Ou pour ceux qui ont passé l'age de calculer des discriminants des équations du second d° :zen: :marteau:

(4x-1)² = 2² = (4*54-1)² [71]

[raito123]

Pour ça, remarquer que 72 est un multiple de 4.

Alors l'inverse de 4 modulo 71 c'est 18 ?

[leon1789]

Alors l'inverse de 4 modulo 71 c'est 18 ?

oui , c'est bien ça :++:

[raito123]

Ou pour ceux qui ont passé l'age de calculer des discriminants des équations du second d° :zen: :marteau:

(4x-1)² = 2² = (4*54-1)² [71]

hein?

J'ai rien piger :marteau:

[ThSQ]

C'est une autre façon de faire avec le minimum de calcul.

[leon1789]

Oui, plus simplement, l'équation se ré-écrit en (4x-1)² = 2² [71]
donc (car on est sur un corps ! ...anneau intègre), donc x = 3/4 ou -1/4, etc.

[raito123]

Rédaction:

On résoud

On calcule le déscriminant et on trouve les deux racines -1/4 et 3/4.

On a 72=1[71] donc 4*18=1[71] alors l'inverse de 4 modulo [71] c'est 18.

Donc

C'est bon?

[raito123]

Oui, plus simplement, l'équation se ré-écrit en (4x-1)² = 2² [71]
donc (car on est sur un corps ! ...anneau intègre), donc x = 3/4 ou -1/4, etc.

ça veut dire quoi anneau intégre? corps?

[leon1789]

oui, mais c'est plus élégant et plus élémentaire de suivre l'indication de thSQ :

Rédaction:



Ainsi on trouve les deux racines -1/4 et 3/4.

On a 72=1[71] donc 4*18=1[71] alors l'inverse de 4 modulo [71] c'est 18.

Donc

[leon1789]

ça veut dire quoi anneau intègre? corps?

anneau intègre : laisse ...

corps : tu n'as pas vu en cours un théorème du genre Z/pZ ..... >> ?

[raito123]

tu n'as pas vu en cours un théorème du genre Z/pZ ..... >>

Ben non tu me le cites entiérement stp?!!

[leon1789]

Ben non tu me le cites entiérement stp?!!

p est un nombre premier Z/pZ est un corps.

Bon, si tu n'as pas vu ça, il faut rédiger autrement, sans parler de fraction !

Rédaction:



Ce qui équivaut à 71 divise (4 x+ 1)(4 x -3). Comme 71 est un nombre premier, 71 divise (4 x+ 1) ou 71 divise (4 x -3).

On a 72=1[71] donc 4*18=1[71]
D'où l'équation est équivalente à >

Donc