Arithmétique

[Lutinette18]

Bonjour,

Il y a une question de mon DM de maths pour laquelle j'ai du mal à aboutir.
Soit a un entier positif supérieur ou égal à 2. Le corps de base est celui des complexes.
Dedans on définit un groupe cyclique d'ordre minimal k par rapport à a si u^(a^k)=u et s'il n'existe aucun entier k' tel que 1 {}\le{} k' La question : prouver que le rapport de deux nombres cycliques par rapport à a, distincts, n'est pas une racine a-ième de 1.

J'ai appelé u et v les deux nombres cycliques. d'après des questions précédentes on sait que si u est différent de 1 alors son argument est de la forme téta=[sym]\frac{2*Pi*m}{(a^k)-1} [sym] avec m entier tel que 1 {}\le{} m {}\le{} (a^k)-2.
J'ai travaillé avec les arguments, en choisissant k pour u et k' pour v. Je trouve un résultat qui n'est pas de la forme initiale; est-ce suffisant?

Merci bien

[ThSQ]

C'est bizare cet exo :

Si a=2 et si on prend 1 et -1. Ils sont différents, cycliques par rapport à a (ordre 0 et 1) mais leur rapport est une racine a-ième de l'unité. :mur:

[yos]

Je dirais qu'il faut prendre des ordres différents.
Soit u d'ordre (ou, avec ton vocabulaire, d'ordre k par rapport à a) et v d'ordre . On peut supposer .
Supposons que u/v est une racine a-ième de 1. Alors .
Si on élève les deux membres à l'exposant , on obtient .
on élève les deux membres à l'exposant , on obtient donc divise , donc divise ce qui est clairement impossible.
Il y a peut-être plus simple. Je trouve aussi que l'énoncé est bizarre.

[Lutinette18]

merci pour vos réponses

[Lutinette18]

justement par rapport à cette notion de "u cyclique d'ordre minimal k"... à un moment du DM on considère les complexes :
u, u^a, u^a^2, ..., u^a^(k-1)
en nombre k, tous distincts. Ils forment le k-cycle u.
Je trouve un résultat bizarre à la question suivante : on choisit a=2, k=8. Combien y a-t-il de u d'ordre minimal 8?
Je comprends que pour u^2 on a 2*((a^k)-2) éléments. A partir de la je calcule la suite géométrique somme de k=0 à 7 de u^2^k.
Est-ce bien ça qu'il faut faire?

merci beaucoup

[yos]

Tu devrais nous donner l'énoncé en entier.

[Lutinette18]

Voilà
[img]C:\Documents%20and%20Settings\LAURENT%20Roxane\Mes%20documents\My%20Scans\2007-10%20(oct.)\ScannedImage.jpg[/img]

[Lutinette18]

Voilà j'ai mis la première partie à ce lien :
http://docs.google.com/Doc?id=dcrzn3rq_0ckxffc
^^

[yos]

Je trouve un résultat bizarre à la question suivante : on choisit a=2, k=8. Combien y a-t-il de u d'ordre minimal 8?
Je comprends que pour u^2 on a 2*((a^k)-2) éléments. A partir de la je calcule la suite géométrique somme de k=0 à 7 de u^2^k.
Est-ce bien ça qu'il faut faire?

Tu veux et tous différents de u.
En simplifiant par u, tu veux les racines 255-ème de 1 qui ne sont pas des racines de l'unité d'ordre 1,3,7,15,31,63 ou 127. Seuls 1 et 3 sont admissibles.
Bref il faut compter les racines 255-ème de 1 qui ne sont pas des racines cubiques de l'unité.