Arithmétique

par **jeje56** » 15 Sep 2007, 18:44

Pour quelles valeurs de n l'équation nx = 3 (mod 15) a t'elle une solution? Distinguer deux cas : n premier avec 15 et n non premier avec 15

Je ne sais pas par où chercher : nx = 15k + 3...

Quelqu'un aurait-il un indice?

Merci d'avance

par **emdro** » 15 Sep 2007, 18:53

Bonjour,

*si n est premier avec 15, n est inversible dans Z/15Z donc ton équation:
nx=3[15] donne x=3n*[15], où n* est l'inverse de n . L'équation a des solutions

exemple: 7 est premier avec 15. Il est donc inversible. En effet 4*13=1[15]. L'équation 7x=3, en la multipliant par 13 donne 13*7*x=3*13, et modulo 15, x=39=9[15]. Il y a bien des solutions. (en effet, 7*9=63=3[15])

*si n n'est pas premier avec 15, tu n'as pas trop de cas à étudier.
n=0: pas de solution!
n=3: solutions évidentes
n=5: à étudier à la main (en construisant la table de 5 modulo 15). Il n'y aura pas de solution

par **jeje56** » 15 Sep 2007, 19:40

Merci bcp, je vais étudier tout ça ;-)

par **aviateurpilot** » 16 Sep 2007, 01:35

tu veux trouver

si

alors

d'ou

et donc

.
si

alors

d'ou

par **jeje56** » 18 Sep 2007, 10:22

*si n n'est pas premier avec 15, tu n'as pas trop de cas à étudier.
n=0: pas de solution!
n=3: solutions évidentes
n=5: à étudier à la main (en construisant la table de 5 modulo 15). Il n'y aura pas de solution

Quelqu'un peut-il m'éclairer? Pourquoi n ne peut prendre pour valeurs que 0, 3 et 5 dans ce cas?

Merci !

par **emdro** » 18 Sep 2007, 13:43

emdro a écrit:Bonjour,

*si n est premier avec 15, n est inversible dans Z/15Z donc ton équation:
nx=3[15] donne x=3n*[15], où n* est l'inverse de n . L'équation a des solutions

exemple: 7 est premier avec 15. Il est donc inversible. En effet 4*13=1[15]. L'équation 7x=3, en la multipliant par 13 donne 13*7*x=3*13, et modulo 15, x=39=9[15]. Il y a bien des solutions. (en effet, 7*9=63=3[15])

*si n n'est pas premier avec 15, tu n'as pas trop de cas à étudier.
n=0: pas de solution!
n=3: solutions évidentes
n=5: à étudier à la main (en construisant la table de 5 modulo 15). Il n'y aura pas de solution

Ne lis pas que la partie qui t'intéresse...

par **jeje56** » 18 Sep 2007, 17:57

J'ai tout lu embro... La première partie pr n premier ac 15 je suis d'accord, le reste je ne vois pas... Merci

par **emdro** » 18 Sep 2007, 17:59

Bonjour,

Si n n'est pas premier avec 15, entre 0 et 14, il n'y a que 0, 3 et 5, non?

par **jeje56** » 18 Sep 2007, 18:06

Bonsoir,
Pourquoi nécessairement n<15 ?...

par **emdro** » 18 Sep 2007, 18:09

Ah, d'accord...
eh bien, comme on travaille modulo 15, on peut remplacer n par son reste modulo 15.
Donc, d'accord avec toi, il n'y a pas que 0, 3 et 5, mais les nombres de la forme
15k, 3+15k et 5+15k.

par **Flodelarab** » 18 Sep 2007, 18:18

jeje56 a écrit:J'ai tout lu embro...

:ptdr: :ptdr: :ptdr: :ptdr:
:ptdr: :ptdr: :ptdr: :ptdr:

Tout est dit. Rien à ajouter.

par **emdro** » 18 Sep 2007, 18:25

Quelle embrouille... :happy2:

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