Arithmétique

[mehdi-128]

Bonjour,soit p un nombre premier différent de 2 et 5.Montrer que p divise l'un des éléments: {1,11,111,1111,.................}.
La je suis bloqué,merci....

[Nightmare]

Salut :happy3:

Essaye de démontrer que avec avec n fois le chiffre 1.

Modif : Non je n'ai rien dit, de plus c'est 3^p qui divise u(3^p)

[aviateurpilot]

ou bien seulment

[fahr451]

on a pgcd(10,p) = 1 donc


10^(p-1) = 1 mod (p)

en notant a = 1+....+10^(p-2)
donc
B =[ 1 +10 +...+10^(p-2)] +[10^(p-1) +[10^p +...+10^(p-2+p-1)]+...+

...[10^[(p-1)(p-1)]+...+ 10^( p-2 +(p-1).(p-1)] = (modp) =

a +a+...+a (pfois) = pa =0 (mod p)

[yos]

on a pgcd(10,p) = 1 donc
10^(p-1) = 1 mod (p)

p|999...999 et p est étranger à 9 donc p|111...111
Le cas p=3 est à traiter à part.

[fahr451]

absolument

[aviateurpilot]

avec

[fahr451]

je ne divise pas par 9

la preuve marche même pour p = 3

[aviateurpilot]

je ne divise pas par 9

la preuve marche même pour p = 3

en général,
si (sans que soit premier)
n divise un element de A={1,11,111,.............}

en effet



et plus généralement,
soit pour

en particulier pour A_10={1,11,111,.....}

[mehdi-128]

Y a un truc que je comprends pas:

Pourquoi: B congru a 0 modulo p......

[aviateurpilot]

essaye de montrer que si pgcd(n,10)=1
1)
2) {1,11,111,......}

[B_J]

es-tu sur que le produit de 2 elements de A est toujours un element de A ?
(11*11=121) donc ....

[mehdi-128]

En fait j'ai:

A={1,11,111,.............}={sum(k=0..n) 10^(k) / n entier naturel}

d'ou: A={[10^(n+1)-1]/9]}

Or dans Z/pZ si 9 barre est inversible: 10^(n+1)=1 barre.....
conclusion: 10^(n+1) =1[mod(p)]

Ainsi p/ [10^(n+1)-1] <=> 10^(n+1)-1=0[mod(p)]

........
Si p=3 ,9 barre n'est pas inversible:p/111

Si p différent de 3:Alors 9 et p sont premiers entre eux,donc 9 barre est inversible dans Z/pZ.De plus ,10=5*2 donc pgcd(p,10)=1.Ainsi,10 barre est un élément inversible de Z/pZ .Or,dans(Z/pZ, *),tout élément est d'ordre fini donc il existe n entier naturel tel que: 10^(n+1) barre=1 barre.

Le résultat est donc acquis dans tous les cas.....

[yos]

je ne divise pas par 9

la preuve marche même pour p = 3

Je sais. Je donnais juste une variante. Mettre 3 de côté n'est pas coûteux car 3|111.

[aviateurpilot]

essaye de montrer que si pgcd(n,10)=1
1)
2) {1,11,111,......}

2) {1,11,111,......}

1) si pgcd(n,10)=1

on a
donc
d'ou
et donc
car

en particuliere pour les nombre premier ou

[Imod]

Bonjour à tous .

N'est-il pas plus rapide de considérer et de se dire qu'il existe deux égaux modulo . Or si avec par exemple alors . Comme 10 est premier avec , divise .

Imod

[aviateurpilot]

plus rapide et plus generale.