Arithmétique

[BiZi]

Bonjour,

Soit p un nombre premier. Pour n appartenant à n, on note r le reste modulo p de n*(n+1). Je me demandais si r décrivait tout [0,p-1] quand n décrit N, et sinon quel ensemble il décrit. Merci d'avance de vos réponses!

[yos]

Bonsoir.
On prend k dans Z/pZ (non nul sinon c'est trivial) et on veut résoudre n²+n-k=0 dans ce corps. C'est une équation du second degré de discriminant 4k+1. L'équation a des solutions ssi 4k+1 est un carré de Z/pZ, ce qui se détermine avec la loi de réciprocité quadratique. Cela devrait être le cas pour la moitié des (p-1) valeurs de k possibles (ce dernier point à vérifier : la présence du 4 pourrait entraîner des surprises).

[mathelot]

Pour p premier non pair, 4 est inversible dans
est-ce que l'on peut dire que l'équation d'inconnue n

a une solution si est de la forme
puisque doit être un carré.

[yos]

C'est pareil mais est-ce une avancée?
Trouver tous les x de cette forme suppose de prendre les un par un. Et dans ce cas, on peut aussi faire la liste des carrés de Z/pZ (en élevant au carré chaque élément). Pour p petit OK.
Mais si tu as p=2011, et que tu veux savoir si 768 est de la forme n²+n, un balayage est pas optimum.