1) si
)
par contraposée:
 < \mu_{A} \right x=0)
2)
réciproque:
lemme: si
, il existe r tel que d(r) < d(x).
en effet, on divise x par lui-même. ceçi donne un reste r tel que
d(r) < d(x).
on considère
.
est atteint pour un certain
non nul. d'après le lemme, il existe r tel que
 < d(x_{0}))
. donc r n'appartient pas à A. donc r=0. donc
 < \mu_{A})
3) Mq que si J est un idéal non nul,
=\mu_{J}) \right (J \quad \mathrm{est de la forme} \quad Ax))
J est non nul donc
est non vide.
donc
est atteint en
soit
. on divise x par
. ça donne un reste r qui appartient à J, car J est un idéal , mais pas à
car d(r) <
)
.
donc r=0 et J est de la form
.
PS: ce qui fait marcher les choses, c'est que pour
, d(B) est une partie de
et que cette partie a un plus petit élément.Si on prenait d à valeurs dans
, ça n'irait pas.
