Arithmétique

[mehdi-128]

Bonjour,

Je bloque sur 2 points dans des démonstrations.

1/ Définition d'un nombre non premier :
Soit n un entier naturel différent de 0 et 1. n est non premier équivaut à dire

Soit n+1 un nombre non premier, notons p l'un de ses diviseurs premiers non trivial.
Alors :



Je comprends pas pourquoi c'est pas vu que c'est p le diviseur premier ...
Pourquoi on a ?

2/ Supposons par l'absurde que le nombre 2 admet une autre décomposition en facteurs premiers.
La première décomposition en facteur premier de 2 est :
Il existerait alors p premier avec tel que : où

Je comprends comment on obtient ce qui est en rouge (pourquoi la deuxième décomposition en facteurs premiers s'écrit ainsi) et pourquoi ?

[pascal16]

un diviseur trivial de n+1, c'est 1 ou n+1
donc un non trivial est entre 2 et n

NB : p et k sont entre 2 et n

démo à 2 balles .

p=1 <=> k=n+1
p=n+1 <=> k=1

p entre 2 et n <=> k n'est ni 1 ni n+1 <=> k est entre 2 et n

[mehdi-128]

un diviseur trivial de n+1, c'est 1 ou n+1
donc un non trivial est entre 2 et n

NB : p et k sont entre 2 et n

démo à 2 balles .

p=1 <=> k=n+1
p=n+1 <=> 1

p entre 2 et n <=> k n'est ni 1 ni n+1 <=> k est entre 2 et n

Merci

Avez-vous une idée pour le point 2 ?

[pascal16]

2/ la démo contredit tout ce qui existe sur la décomposition en nombres premiers.
-> on n'accepte pas de puissance nulle, sinon, il n'y a pas unicité
-> 2 est justement diviseur trivial de 2, donc on ne peut pas utiliser les résultats de 1/

c'était quoi l'énoncé du 2 ?

[mehdi-128]

"p=1 <=> k=n+1
p=n+1 <=> 1

p entre 2 et n <=> k n'est ni 1 ni n+1 <=> k est entre 2 et n"

En fait j'ai pas tout compris
Vous avez fait que les bornes.

[pascal16]

démo complète propre :
http://uel.unisciel.fr/mathematiques/arithmetique/arithmetique_ch05/co/apprendre_ch5_02.html

si p trivial, on a :
p=1 <=> k=n+1
et p=n+1 <=> k=1

p non trivial donne :
p entre 2 et n <=> k n'est ni 1 ni n+1 <=> k est entre 2 et n

[mehdi-128]

Unicité de la décomposition en facteurs premiers :

PS : dans mon cours, on accepte la puissance nulle, la puissance alpha est un entier.

U(n) : la décomposition en facteurs premiers de tout entier de [|2,n|] est unique.

Montrons U(2).

Supposons par l'absurde que l'entier 2 qui est premier admette une autre décomposition en produit de facteurs premiers.
Il existe alors un nombre premier p distinct de 2 donc tel que tel que où

[mehdi-128]

démo complète propre :
http://uel.unisciel.fr/mathematiques/arithmetique/arithmetique_ch05/co/apprendre_ch5_02.html

si p trivial, on a :
p=1 <=> k=n+1
et p=n+1 <=> k=1

p non trivial donne :
p entre 2 et n <=> k n'est ni 1 ni n+1 <=> k est entre 2 et n

bof c'est mal expliqué (il disent que c'est trivial pour n=2 pas pour moi) dans mon livre la démo est plus claire et plus détaillée pourtant je bloque sur ces 2 points.

Je comprends pas vous faire que les bornes.

[pascal16]

démo pour 2 non premier avec ta définition

il existe combien de nombre dans [|2;1|] ?

la définition n'a-t-elle pas un problème ? L'intervalle n'est même pas défini pour n=2.


déf : un entier naturel est premier s'il n'admet que 1 et lui même comme diviseur (dans N).

déf : un entier relatif est premier s'il admet exactement 4 diviseurs (-n,-1,1 et n).

[mehdi-128]

Tout entier naturel s'écrit de façon unique à l'ordre près des facteurs :

où

Nous allons raisonner à l'aide de récurrences fortes.

Existence :
Considérons la propriété P définie pour tout n par :
: tout entier de admet une décomposition en facteurs premiers.

On a évidemment puisque 2 est lui-même premier.

Soit et supposons .
- Si n+1 est premier on a directement
- Si n+1 n'est pas premier, notons p l'un de ses diviseurs premiers non trivial :

où

Comme ce diviseur k de n+1 admet, d'après l'hypothèse une décomposition en facteurs premiers. Et comme p est premier, on a ainsi une décomposition en facteurs premiers de n+1 d'où

On a montré :

et

Du principe de raisonnement par récurrence, on en déduit :

[pascal16]

n+1 = kp .... Et comme p est premier (ha bon ????, mais n n'est pas forcément premier

n+1=kp car dans le second cas n+1 non premier, il admet au moins un diviseur k non trivial dans [[2;n]]
si tu dis que k est dans [[2;n]], il a une décompo, oui
mais kp ?
utilise le fait que k et p sont dans [[2;n]] et que le produit de décompos en facteurs premiers est une décompo en facteurs premiers car produit de nombres premiers

oui, ça c'est l'existence.
Elle repose sur le fait
(1) que 2 est premier
(2) quand un nombre n'est pas premier ses diviseurs non triviaux sont strictement plus petits que lui (au sens de l'ordre dans N).

Mais ça ne prouve encore pas l'unicité qui elle est des fois très mal rédigée

[infernaleur]

Salut pascal,
Il a utilisé que tout entier plus grand que 2 admet un diviseur premier donc ce qu'il a écrit semble bien légitime.

[pascal16]

J'ai relu, avec la supposition de départ, elle est juste, mais il manque le lien de départ

n+1 non premier =>
il admet un diviseur non trivial p -> là on suppose que p est premier, ce qui n'est la définition générale d'un diviseur, c'est ça qui me chagrine un peu, alors qu'on peut s'en passer ou le démontrer facilement.


On a deux choix
-> soit p le plus petit des diviseurs non triviaux de n+1, on démontre facilement que p est premier, sinon, ça ne serait pas le plus petit, et il existe par les axiomes de Peano.
-> soit n+1=pk, avec p diviseur non trivial de n+1, il est donc dans [[2,n]] et par quelques inégalités, on a k dans [[2,n]] . On utilise alors deux fois P(n), et on a bien une décomposition en facteurs premiers comme produit de deux décompos

[PS] :dans un monde où on aurait n+1=PK, mais avec P ou K plus grand que n+1, on ne pourrait faire cette démo. C'est pour ça que des fois on insiste bien sur le fait que la relation d'ordre classique de N et celle de la divisibilité sont compatibles. Il faut que les diviseurs non triviaux soient plus petits que le nombre lui même.