Arithmétique

[Harmonie]

Bonjour, j'ai cet exercice de préparation de partiel qui me donne du fil à retordre

(pardon pour le flou..)

Pour la première question, je veux bien calculer cette somme, mais quelles sont les bornes ? Enfin je veux dire, à quelle k dois-je m'arrêter ? Idem pour le n...

Pour la deuxième question, ça peut sembler stupide de vouloir calculer les 2014 termes, c'est impossible à faire, il y'a donc une méthode à appliquer que je ne connais pas..
Je sais qu'on cherche quelque chose de la forme a = r [b] avec r = 1 et b =6
Soit a=1[6]

Pour la troisième autant dire que je ne sais pas du tout ce qu'il faut faire.

Merci d'avance !

[mathelot]

bonjour

outil 1




outil 2




outil 3

[Monsieur23]

Aloha,

Pour la première, tu peux te ramener à une somme de termes d'une suite géométrique.

Pour la deuxième, comment peuvent s'écrire les nombres congrus à 1 modulo 6 ?

Pour la troisième, comment s'écrivent les carrés parfaits impairs ?

[mathelot]

si tu dois sommer les entiers de la forme (carrés impairs):
(2k+1)^2


rien ne t'interdit de sommer les k^2 puis les 4k puis les 1.


exemple
un vélo comporte deux roues et une selle.

si tu as un stock de vélos à compter,
tu peux compter les vélos, ou compter les roues, ou compter les selles.
pour les sommes numériques, c'est pareil:


sommme de trois termes= trois sommes d'un terme

[mathelot]

pour la (1), il y a deux transformations à faire au préalable:


- fac......ser

- 5^{2k}=(...)^k

[Harmonie]

Bonjour à vous deux, et merci de me donner de votre temps.

Question 1
Alors je sais que la somme des termes d'une suite géométrique, pour q différent de 1 s'écrit :
Uk = Up x [1- q^(n-p+1) ] / 1 - q, avec k=p, donc pour p=0 j'obtiens une formule équivalente à celle que Mathelot m'indique.
Mais j'ai déjà une formule explicite pour le calcul de la somme, pourquoi je me rammenerais à la somme des termes d'une suite géométrique ? D'ailleurs q est la raison de cette suite, je ne l'ai pas... Je ne vois pas du tout le lien entre les deux sommes enfait..

Question 2 :
Les nombres congrus à 1 modulo 6 s'écrivent a=1[6]
sachant que a=r [ b ] => a = bq + r
On peut écrire les nombres congrus à 1 modulo tq a = 6*q + 1
Donc en fait on cherche a = 6q+ 1 ?

Question 3
Les nombres impairs sont de la forme 2k+1
Les carrés de nombres impairs sont de la forme (2k+1)²
Selon la formule que Mathelot me donne, je peux dire que la somme des carrés de nombres impairs est de la forme

Uk = [(2k+1)² * Up+Un]/2 ?

[mathelot]

procédons par étapes car tu es loin du but :doh:


exo1

le terme à additionnner est


tu as trois choses à faire: lesquelles ?

[Harmonie]

J'avoue non pas sans honte que je ne sais même pas.

Quand on me demande de calculer la somme d'une expression de k=0 à un certain n+1, je remplace simplement k par ses valeurs successives jusqu'à n...
Par exemple
pour k = 0 j'obtiens 3/5
Pour k = 1, j'obtiens 3/ 5^3
Pour k = 2, j'obtiens 3/5^5...
Pour k = n, j'obtients 3/5^2n+1

[mathelot]

exo1




est ce ok ?

[Harmonie]

Oui,
on a 5^(2k+1) = 5^1 * 5^2k = 5 * 25^k
donc 3 / 5 ^(2k+1) = 3/5 * 1/25^k

[mathelot]

bon, c parfait.


Commme on additionnne, (3/5) sort en facteur de la somme
et par contre, on doit additionnner les

[Harmonie]

Du coup on a
;) 3 / (5 ^(2k+1)
= ;) 3/5 * 1/25^k
= 3/5 ;) 1/25^k
= 3/5 * [ 1 / 25° + 1 / 25 + 1 / 25² + ... + 1 / 25^n ]
= 3/5 * [ 1 + 1 / 25 + 1 / 25² + ... + 1 / 25^n ]

Du coup on peut aussi écrire 3/5 ;) (-1)^k * 25 ou quelque chose comme ça ?

[mathelot]

= 3/5 * [ 1 / 25° + 1 / 25 + 1 / 25² + ... + 1 / 25^n ] <---- oui
= 3/5 * [ 1 + 1 / 25 + 1 / 25² + ... + 1 / 25^n ]

oui, ensuite on applique le cours.

[Harmonie]

oui, ensuite on applique le cours.

Que je maîtrise très mal, et forcément je manque de temps :mur:

Je reprends en complétant :

3 / (5 ^(2k+1) )
= 3/5 * 1/25^k
= 3/5 1/25^k
= 3/5 * [ 1 / 25° + 1 / 25 + 1 / 25² + ... + 1/25^(n-1) +1 / 25^n ]

= 3/5 * [ 1 + 25^(-1) + 25^(-2) +...+ 25^(-(n-1)) + 25^(n) ]
= 3/5 * [ 1 + 25^(-1) + 25^(-2) +...+ 25^(-n+1) + 25^(n) ] il est bizarre lui..

en posant 25=x, je me retrouve avec
=3/5 * [1 + 1/x + 1/x² +...+ 1/x^n]

Et l'expression entre crochets corresponds à 1/x^(k)
= (-1)x^(k)

or x^(k) = [ x^(n) - 1 ] / x - 1
donc (-1)x^(k)
= (-1);) x^(k)

Donc ici j'ai
(-3/5);) 25(^k) = (-3/5) * [25^(n) - 1 ] / 24

Soit 3 / (5 ^(2k+1) ) = (-3/5) * [25^(n) - 1 ] / 24 ?