Arithmétique

[bneay]

salut tout le monde, voici un bon exo en arithmétique:

Montrer que l'équation: y²=x(x+1)(x+2) n'admet pas de solutions dans IN*

[Manny06]

salut tout le monde, voici un bon exo en arithmétique:

Montrer que l'équation: y²=x(x+1)(x+2) n'admet pas de solutions dans IN*

Mieux vaudrait dire dans N*xN*

[Manny06]

Mieux vaudrait dire dans N*xN*

utiliser les diviseurs premiers de y

[L.A.]

Bonjour.

Oh, quelle belle courbe elliptique...

En effet il faut vérifier que les facteurs premiers de y restent toujours en bloc (sauf pour 2 qu'il faut traiter à part), puis lever une contradiction à partir de considérations sur des carrés consécutifs.

[LA solution]

bonjour,
voila ce que j ai eu a bricoler :
y²=x(x+1)(x+2)
en remarquant que les membres a droite c est a dire x(x+1)(x+2) produit de tois nbres consecutifs
alors c est forcement divisible par 2 et 3
Pour 2 on a
comme y² EST egale a x(x+1)(x+2)
ceci implique que y² est divisible par 2
donc il existe un k element de Z tel que y²=2K
ensuite remplace le par sa valeur
2k=x(x+1)(x+2)
comme ça on aura x(x+1)(x+2)congru a zero modulo 2
ET TU FAIT DE MEME POUR 3 OK?
maitenant a vous de jouer!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! :++:

[morpho]

Voici une solution detaillée:
On écrit l'équation autrement.
y² = (x-1)x(x+1) , x>=2
y² = x(x²-1)
Sol:
1. la décomposition en facteur 1er de x(x²-1) n'a que des puissances paires. (à cause y²)
2. x et x²-1 sont premier entre eux ( ux+v(x²-1)=1, avec u=x ,v=-1 )
3. donc x et (x²-1) sont des carrés car x(x²-1)=p²q²r²s²t² on coupe "juste" donc x²-1=b²
4. mais x²-1=b² imposible !!! car x²-b²=1 ==> (x-b)(x+b)=1
x-b=1
x+b=1
x=1, b=0 imposible

NOTE: Erdos a montré que le produit de k entiers consécutifs n'est jamais une puissance d'un entier.

[L.A.]

Morpho : belle astuce pour contourner le fait que x et x+2 ne sont pas premiers entre eux, et jolie preuve au final, bien joué. A la fin, on retrouve le fait que deux nombres consécutifs ne peuvent être des carrés hormis 0 et 1.

LA solution : je crois bien que ton raisonnement tourne en rond...

[aymanemaysae]

Voici une solution detaillée:
On écrit l'équation autrement.
y² = (x-1)x(x+1) , x>=2
y² = x(x²-1)
Sol:
1. la décomposition en facteur 1er de x(x²-1) n'a que des puissances paires. (à cause y²)
2. x et x²-1 sont premier entre eux ( ux+v(x²-1)=1, avec u=x ,v=-1 )
3. donc x et (x²-1) sont des carrés car x(x²-1)=p²q²r²s²t² on coupe "juste" donc x²-1=b²
4. mais x²-1=b² imposible !!! car x²-b²=1 ==> (x-b)(x+b)=1
x-b=1
x+b=1
x=1, b=0 imposible

NOTE: Erdos a montré que le produit de k entiers consécutifs n'est jamais une puissance d'un entier.

http://www.maths-forum.com/showthread.php?p=996317#post996317