Arithmétique

par **Zix** » 09 Avr 2013, 12:54

bonjour j'ai deux petits exercices à faire et j'aurais besoin d'aide.

Ex1 : Pour quelle valeur de la constante a le polynôme "P(X) = (X+1)^3 - X^3 - a" possède une racine double
Ex2 : a) Démontrer que (X^2 - 1)^2 + (2X)^2 = (X^2 +1)^2
b) Remplacer X par p/q avec p et q entiers, puis réduire au même dénominateur . En déduire qu'il existe une infinité de triplets d'entiers non (a,b,c) tels que a^2 + b^2 = c^2

pour l'ex1 comment faut-il procéder ? et pour le 2) c'est la question b) que je ne comprends pas.

Merci d'avance

par **arnaud32** » 09 Avr 2013, 13:03

1/si r est racine double P(r)=P'(r)=0 ...

2a/ a²+b²=a²-(ib)²=(a+ib)(a-ib) ...

par **chan79** » 09 Avr 2013, 13:37

Pour la 1, en développant, les x³ disparaissent. On peut écrire que le discriminant est nul.

par **Zix** » 09 Avr 2013, 15:05

chan79 a écrit:Pour la 1, en développant, les x³ disparaissent. On peut écrire que le discriminant est nul.

J'ai trouvé a = 1/4, c'est bon ?

arnaud32 a écrit:2a/ a²+b²=a²-(ib)²=(a+ib)(a-ib) ...

L'indice que tu m'as donné c'est pour la question a) ou b) ? Car j'ai dejà fait la question a)

par **arnaud32** » 09 Avr 2013, 15:59

a=1/4 c'est bon

c'etait pour la 2a

par **Zix** » 09 Avr 2013, 16:40

arnaud32 a écrit:a=1/4 c'est bon

c'etait pour la 2a

Ok si c'est le cas, j'aimerais un peu d'aide pour la question b), déjà, je remplace X par p/q dans quelle équation et la notion d'existence d'infinité de triplets, ça me parait confus

par **Archibald** » 09 Avr 2013, 17:20

L'énoncé te dit

En déduire qu'il existe une infinité de triplets d'entiers non (a,b,c) tels que a^2 + b^2 = c^2

Donc tu poses

et remplace dans

par **Zix** » 09 Avr 2013, 18:58

Archibald a écrit:L'énoncé te dit
Donc tu poses et remplace dans

On a ((p^2 - q^2)/q^2)^2 - (2p/q)^2 = ((p^2 + q^2)/q^2)¨2. Mais...quelle relation je dois trouver ou retrouver ? je comprends pas.

par **Archibald** » 09 Avr 2013, 20:16

Attention, c'est

et non pas

Il ne te reste plus qu'à développer puis réduire l'expression au même dénominateur.

par **Zix** » 09 Avr 2013, 21:41

je trouve (p^4 + 2p^2.q^2 + q^2)/q^4, ça justifie à lui seul la question ?

par **Archibald** » 10 Avr 2013, 10:51

Etc....

par **Zix** » 10 Avr 2013, 11:27

l'égalité de gauche fait 0,voilà.. mais ça justifie quoi ?
Sinon j'ai trouvé une autre justification sur internet :
Soit (x;y;z) un triplet pythagoricien alors x²+y²=z²
on a:
qq soit n élément de IN*: n²x²+y²n²=z²n²

donc (nx;ny;nz) est un triplet pythagoricien
donc il y a une infinité de triplets pythagoriciens

par **chan79** » 10 Avr 2013, 11:28

en mettant tout sur

et en multipliant les deux membres par

, on obtient

par exemple pour p=7 et q=5, cela donne 24²+70²=74²
en gardant q=5 et en augmentant p, on fait apparaître une infinité de solutions:
p=7 donne 24²+70²=74²
p=8 donne 39²+80²=89²
p=9 donne 56²+90²=106²
p=10 donne 75²+100²=125²
...
...
...

par **Archibald** » 10 Avr 2013, 11:45

Zix a écrit:l'égalité de gauche fait 0,voilà.. mais ça justifie quoi ?

infinité de solutions !

Autrement dit, il existe une infinité de triplets qui vérifie cette égalité.

par **Zix** » 10 Avr 2013, 12:48

Archibald a écrit: infinité de solutions !

Autrement dit, il existe une infinité de triplets qui vérifie cette égalité.

Très bien merci à vous pour votre aide et bonne journée

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