Arithmétique

[sad13]

Bonsoir , on a x et y premiers entre eux ; je voudrais montrer que x-y et xy sont premiers entre eux?

Merci

[Nightmare]

Hello,

x(x-y)+xy=x²
y(x-y)-xy=-y²

donc un diviseur commun à x-y et xy est commun à x² et y²...

[sad13]

Oui et comme x et y sont premiers entre eux, de même pour leurs carrés et c'est fini.

[sad13]

Merci beaucoup; cela suffirait?

[Elerinna]

Si on sait que et , alors pour tout couple

[sad13]

Oui mais ici on ne peut l'utiliser car xy ne divise pas x ni y

[manoa]

cela suffirait?

oui cela suffirait

[sad13]

On conclut par contraposée non?

donc un diviseur commun à x-y et xy est commun à x² et y²...

Puisque x et y sont premiers entre eux, de même pr x ² et y² (donc le diviseur commun c'est 1 et eux mêmes) et donc x-y et xy seront premiers entre eux?

[leon1789]

On conclut par contraposée non?

Tu as pris un diviseur commun à xy et x-y et tu as montré qu'il valait (car divisant x^2 et y^2 premiers entre eux), donc le plus grand diviseur commun de xy et x-y est 1 !

Où vois-tu de la contraposée ?

[sad13]

Tout à fait, on a pris d diviseur commun et on montré qu'il ne peut qu'être égal à 1 d'où xy et x-y sont premiers car d est diviseur commun à x, y, xy et x-y

[Maxmau]

Bonsoir , on a x et y premiers entre eux ; je voudrais montrer que x-y et xy sont premiers entre eux?

Merci

Bonjour
ou alors on utilise le fait que le PGCD de 2 entiers ne change pas lorsqu'on retire à l'un un multiple de l'autre
PGCD(x,y) = PGCD(x,y-x) =1
PGCD(x,y) = PGCD(x-y,y)=1
donc x-y est premier avec x et y donc aussi avec leur produit