Arithmétique

par **Dinozzo13** » 01 Mar 2012, 23:23

Bonsoir, je bloque sur une démonstration sur le pgcd de deux nombres :
On donne deux entiers

et

tels que

et on pose

Je dois montrer que

.

J'ai commencé par dire que si

alors

divise

et

, docn qu'il existe deux entiers naturels non nuls

et

, premiers entre eux, tels que :

et

.
Par suite, j'obtiens :

, mais je ne vois pas comment avancer.

Merci d'avance pour votre aide.

par **Blueberry** » 02 Mar 2012, 00:08

Applique l'algorithme d'Euclide (du calcul d'un pgcd) à

en écrivant déja que

puis en effectuant la première division

par **Matt_01** » 02 Mar 2012, 12:42

Sinon : on suppose a >=b
on note d' le pgcd des puissances.
Alors

par différence.
soit

mais d' est premier avec n^b (car divise n^b -1)
et donc

Que vois tu apparaître ?
(Je crois que c'est la même idée que Blueberry)

par **Dinozzo13** » 02 Mar 2012, 22:31

Oui, je suis d'accord, mais l'exposant q me gêne...