Arithmétique

par **sad13** » 21 Fév 2012, 01:13

Bonsoir, comment montrer que :

si deux entiers naturels a et b sont premiers entre eux; a²+b² et ab le sont aussi.?

Merci

par **Maxmau** » 21 Fév 2012, 08:50

sad13 a écrit:Bonsoir, comment montrer que :

si deux entiers naturels a et b sont premiers entre eux; a²+b² et ab le sont aussi.?

Merci

Bj
a premier avec b donc avec b² (cours)
a premier avec b² donc avec a²+b² ( le PGCD de 2 entiers ne change pas lorsqu'on retire ou on ajoute à l'un un multiple de l'autre donc ici: PGCD(a,b²) = PGCD(a,b²+a²) )
De même b premier avec a²+b²
je te laisse terminer

par **sad13** » 21 Fév 2012, 11:27

a premier avec b² donc avec a²+b² ( le PGCD de 2 entiers ne change pas lorsqu'on retire ou on ajoute à l'un un multiple de l'autre donc ici: PGCD(a,b²) = PGCD(a,b²+a²) )

j'ai du mal avec ceci dsl

par **sad13** » 21 Fév 2012, 11:37

Pour conclure, j'ai envie d'utiliser la contraposée de ceci :

si a|c et b|c avec a^b=1 alors ab|c

par **Maxmau** » 21 Fév 2012, 12:04

sad13 a écrit:a premier avec b² donc avec a²+b² ( le PGCD de 2 entiers ne change pas lorsqu'on retire ou on ajoute à l'un un multiple de l'autre donc ici: PGCD(a,b²) = PGCD(a,b²+a²) )

j'ai du mal avec ceci dsl

voici un rappel:
tous les éléments sont des entiers
Si d est diviseur commun à x et y , c'est aussi un diviseur commun à x et y + kx
si d est diviseur commun à x et y+kx, c'est aussi un diviseur commun à x et y+kx -kx = y
Conc: les diviseurs communs à x et y sont les mêmes que les diviseurs communs à x et y-kx
En particulier PGCD(x,y) = PGCD(x,y+kx)
Ici ds ton exo PGCD(a,b²) = PGCD(a,b²+a²) puisque a² est multiple de a

par **Maxmau** » 21 Fév 2012, 12:09

sad13 a écrit:Pour conclure, j'ai envie d'utiliser la contraposée de ceci :

si a|c et b|c avec a^b=1 alors ab|c

si a²+b² est premier avec a et avec b que peux tu en déduire ?

par **sad13** » 21 Fév 2012, 12:18

*) "c'est aussi un diviseur commun à x et y+kx -kx = y "

ok merci car (k-k)*x=0 est un multiple de x .

**) j'aimerais dire qu'il est premier avec ab mais je n'arrive pas à bien l'écrire

par **Maxmau** » 21 Fév 2012, 13:02

sad13 a écrit:*) "c'est aussi un diviseur commun à x et y+kx -kx = y "

ok merci car (k-k)*x=0 est un multiple de x .

**) j'aimerais dire qu'il est premier avec ab mais je n'arrive pas à bien l'écrire

**) c'est du cours
si x est premier avec a et b , il est premier avec leur produit ab ( ça se démontre facilement avec Bézout)

par **sad13** » 22 Fév 2012, 00:55

oui merci beaucoup, le produit est égal à 1 et l'on développe, merci.

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