Arithmétique

[sad13]

Bonjour à tous, j'ai un problème avec l'énoncé suivant

" *) Déterminer un entier n tel que 9*401 divise 10^n - 1 .

**) EN déduire qu'il existe un multiple de 2 005 qui s'écrit avec le seul chiffre 5: 555...5."


J'ai réussi la une, mais pour la 2, je buggue et en lisant le corrigé, je buggue encore plus;le voici:

"2005= 5*401 et un nombre qui s'écrit avec le seul chiffre 5: 5.....5 est de la forme 5*1.........1.

c.à.d 5*((10^n - 1)/9) ?

Merci

en fait je pense que 10^n-1=99....9/9=11....1 et *5, on a ce qu'on veut? Mais je ne vois pas la déduction .

Merci de votre aide

[Le_chat]

Ben 1........1=10^n-1+10^n-1+...+10+1, si ton nombre a n chiffres.

Comme c'est une suite géométrique, ça fait bien (10^n-1)/9.

[sad13]

1........1=10^n-1+10^n-1+...+10+1
je ne vois pas pourquoi: 111=1+110=1+10+100 et c'est uen somme de suite géométrique de raison 10

[Le_chat]

Oups je me suis planté dans l'écriture, c'est

1....1=10^(n-1)+10^(n-2)+...+10+1, genre 111=100+10+1

La suite (10^n) est géométrique, de raisons 10, donc on sait calculer sa somme partielle.

[sad13]

oui, merci à la base c'est 1-10^n/1-10 et -/-=+

mais où est la déduction donc?

[Le_chat]

On a 2005=5*401, et 9*401 divise 10^n-1 pour un certain n, donc 9*401*a=10^n-1 pour un certain a et n.
Alors, 401*a=(10^n-1)/9, et 2005*a=5*(10^n-1)/9=5....5.

[sad13]

Ok merci beaucoup; un petit puzzle quoi; on utilise la 1 pour conclure et d'après la formule de la somme de termes d'une suite géométrique , on a eu ceci : (10^n-1)/9=1....1 et en multipliant les deux membres de l'égalité par 5, on a fini.

merci