Arithmétique

[majin]

Bonjour, j'ai résolu cet exo:
Considérons 1789 entiers tels que leurs somme soit nulle. Montrer que la somme de leurs puissances 37-ième est divisible par 399.

J'ai prouvé que la puissance 37-ième de chacun de ces entiers est congru à lui-même modulo 19, 3, et 17. Puis on conclut facilement. Mais je n'ai en aucune étape utiliser le fait qu'on possède 1789 entiers.
L'exercice est comme ça ou ai-je fais une faute quelque part?

Une autre question, j'aimerais démontrer le théorème de Wilson ( p premier si et seulement si (p-1)! + 1 est congru à 0 modulo p), et je qu'un petit indice pour démarrer :lol3:

[SaintAmand]

Bonjour,

Considérons 1789 entiers tels que leurs somme soit nulle. Montrer que la somme de leurs puissances 37-ième est divisible par 399.

J'ai prouvé que la puissance 37-ième de chacun de ces entiers est congru à lui-même modulo 19, 3, et 17. Puis on conclut facilement. Mais je n'ai en aucune étape utiliser le fait qu'on possède 1789 entiers.
L'exercice est comme ça ou ai-je fais une faute quelque part?

Effectivement il faut toujours se méfier quand on utilise pas toutes les hypothèses de l'exercice. Montre ta solution, on verra bien.

Une autre question, j'aimerais démontrer le théorème de Wilson ( p premier si et seulement si (p-1)! + 1 est congru à 0 modulo p), et je qu'un petit indice pour démarrer

: montre que si p n'est pas premier alors .

: cela revient à montrer que . Pour évaluer le produit il suffit de regrouper chaque avec son inverse.