Arithmétique

[Elay0r]

bonsoir, je dois résoudre ce système : 5x congrue à 7 [11]; 7x congrue à 11 [5]; 11x congrue à 5 [7]
et je ne sais pas comment m'y prendre...

[bentaarito]

ça doit t'aider :lol3:
http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_des_restes_chinois

[kasmath]

on pose ;
5x ;) 7 [11] (1)
7x ;) 11 [5] (2)
11x ;) 5 [7] (3).







1) Résolvons la première équation (1) de (S).
Soit x ;) Z. On cherche l’inverse de 5 modulo 11. Cet inverse
existe car 5 ;) 11 = 1.
On remarque : (;)2) · 5 = ;)10 ;) 1 [11], donc l’inverse
de 5 modulo 11 est ;)2. D’où :
(1) 5x ;) 7 [11] ;);) (;)2)5x ;) (;)2)7 [11]
;);) x ;) ;)3 [11] ;);) ;) a ;) Z, x = ;)3 + 11a.
2) On reporte ce résultat dans la deuxième équation (2) de (S),
et on raisonne comme ci-dessus (en commençant par simplifier
les nombres modulo 5) :
(2) 7x ;) 11 [5] ;);) 2x ;) 1 [5]
;);) 2(;)3 + 11a) ;) 1 [5];);) 22a ;) 7 [5]
;);) 2a ;) 2 [5] 3;);)5;)=1
3(2a) ;) 3 · 2 [5]
;);) a ;) 1 [5] ;);) ;) b ;) Z, a = 1 + 5b.
On obtient :
x = ;)3 + 11a = ;)3 + 11(1 + 5b) = 8 + 55b.
3) De même, on reporte dans l’équation (3) de (S) :
(3) 11x ;) 5 [7] ;);) 4x ;) 5 [7]
;);) 4(8 + 55b) ;) 5 [7] ;);) 220b ;) ;)27 [7]
;);) 3b ;) 1 [7] 5;);)7;)=1
5(3b) ;) 5 · 1 [7]
;);) b ;) 5 [7] ;);) ;) k ;) Z, b = 5 + 7k.On obtient :
x = 8 + 55b = 8 + 55(5 + 7k) = 283 + 385k.
On conclut que l’ensemble des solutions de (S) est :
{283 + 385k ; k ;) Z}.

[Elay0r]

j'en ai un deuxième a résoudre : x congrue à 1 [6]; x congrue à 3 [10] ; x congrue à 7 [15]
et j'ai trouvé qu'il n'y a pas de réponse est ce possible ?

[kasmath]

j'en ai un deuxième a résoudre : x congrue à 1 [6]; x congrue à 3 [10] ; x congrue à 7 [15]
et j'ai trouvé qu'il n'y a pas de réponse est ce possible ?

désoler monsieur nous somme la juste pour vous aider a comprendre pas pour résoudre tes devoirs

[Elay0r]

je voulais juste savoir si c'était possible d'obtenir aucune réponse pour ce type d'équation pas que vous me la résolviez...

[kasmath]

je voulais juste savoir si c'était possible d'obtenir aucune réponse pour ce type d'équation pas que vous me la résolviez...

Est-ce-que ma répense n'est pas claire ??!

[nodjim]

La démo de kasmath est bonne mais sa conclusion fausse.
5x est congru à 7 modulo 11 signifie exactement:
5x=7+11y avec y entier.
la plus petite solution est bien 8
5*8=7+11*3
comme 5 et 11 sont premiers entre eux, pour tous les x compris entre 1 et 11, il y a pour 5x 11 restes différents quand on divise par 11. Faire cette opération si nécessaire pour s'en rendre compte.
Donc le reste 7 reviendra 1 fois sur 11.
Les solutions pour x sont donc:
x=8+11k.