[L1] Arithmétique

[benekire2]

Bonsoir,

J'ai un problème avec un exo d'arithmétique , qui doit pas être très dur au final, mais je vois pas :triste:

Soit p un nombre premier et (x,y) des entiers naturels. On cherche a résoudre x²+px=y²

Deux cas , p divise n ou pas.

Premier cas : Faut montrer que dans ce cas x=y=0

Donc déjà p divise aussi y.
En divisant par p² et avec x=pk et y=pk' j'ai k(k+1)=k'² donc k et k+1 sont des carrés parfaits. Je vois pas comment montrer que k=0 et k'=0

Merci de m'aider !

PS: On a prouvé juste avant que pgcd(a,b)=1 et ab carré parfait => a et b carrés parfaits , et on nous demande dans le cas "p divise x" de l'utiliser.

[benekire2]

Bon, le fait d'écrire ce message a remis de l'ordre dans mes idées.
Finalement k(k+1)=k'² (k'-k)(k'+k)=k
donc k'+k divise k ...

Donc dernière partie, cette fois ci p ne divise pas x et on me demande de montrer que et
en "adaptant la méthode pour ce cas" , mais je vois rien ...
Merci encore !

[vingtdieux]

Deux cas , p divise n ou pas.
C'est quoi n?

[benekire2]

Deux cas , p divise n ou pas.
C'est quoi n?

c'est p divise x ou pas ; désolé

[Ben314]

Bon, déjà, pour la première partie (que tu as résolu autrement), la différence entre deux carrés succéssifs est (a+1)²-a²=2a+1 et si tu veut que ça fasse 1, y'a pas trop le choix !!!

Aprés, si p ne divise pas x, on a x(x+p)=x²+px=y² est un carré et pgcd(x,x+p)=... donc ...

[benekire2]

Salut !

Donc x carré parfait comme x+p ainsi x=k² pour un certain k et x+p=k'² pour un certain k' et donc p=(k'-k)(k'+k) i.e k'=k+1 et donc k=(p-1)/2 et on conclu.

Merci bien, a vrai dire j'étais partit dans cette direction, mais j'avais abandonné je sais pas pourquoi :hein:

Par contre pour la première question, pourquoi une différence de deux carrés d'entiers consécutifs ? Je vois pas d'où tu les sort ?
Merci !

[Ben314]

je répondait à ça :

... k et k+1 sont des carrés parfaits. Je vois pas comment montrer que k=0...

Comme la fonction "carré" est strictement croissante sur N et que k+1 est le suivant (pour la relation d'ordre) de k, si k=a² est un carré et que k+1 est aussi un carré, ça ne peut être que le carré de a+1 !!!!

[benekire2]

Effectivement si tu répondait à ça ... oui. Je croyais que t'essayais un truc bizarre sur x,y et p , enfin un machin beaucoup plus rapide. Cela dit je t'ai jamais surpris a me répondre un truc "bizarre" :zen: i.e je savais que j'avais encore loupé quelque chose ,

Bon, problème résolu, bonne nuit (pour moi ... ) :we: