Application idempotente,exercile colle délicat

[Shinji666]

Si E est un ensemble, pour une application f : E -> E
quel est le nombre d'appications idempotentes f : E -> E ?
et si Image(f) = S avec S inclu ds E combien d'application f:E -> E sont idempotentes telles que Im(f) = S ?

y'a t'il un théorème qui nous donne ces réponse.

[Shinji666]

En passant, bonjour a vous tous, je suis nouveau sur le forum :)
merci d'avance pour toutes les réponses que vous m'apporterez

[yos]

Hello

Ca dépend de E.
Si c'est un ensemble fini, c'est un problème de dénombrement. Mais si E est infini, il y a une infinité d'idempotentes.

Pour S strictement inclus dans E, c'est pareil. Toute fonction constante est idempotente, ça en fait déjà une infinité si S est infini.

Peux-tu préciser ce que tu veux?

[Shinji666]

Bah E est un ensemble fini.
Effectivement c'est un problème de dénombrements. et c'est justement ca que je cherche. SI l'ensemble est de cardinal fini n.
Mais je ne vois pas comment résoudre les questions

[yos]

Soit f idempotente et x dans E.
Je te laisse prouver l'équivalence : f(x)=x x appartient à f(E).

f(E) est donc l'ensemble des points fixes de E.
f(E) contient 1,2,..., ou n éléments.

Il y a n possibilités avec cardE=1 (les n applications constantes).
Il y a possibilités avec deux points fixes a et b (choix de a et b suivi du choix des images des n-2 autres éléments).
etc.
Total :

[Shinji666]

je ne comprend pas trop
tu répond à laquel des question d'abord ?

ensuite si le cardinal d'un ensemble est 1, je vois pas pourquoi il y aurait N application idempotente :s

faut que tu m'explique la disoulé

je sais je suis nul en math :we:

[yos]

je sais je suis nul en math :we:

Et pourtant tu te retrouves dans une filière avec des exercices bien théoriques, alors tu ne dois pas être si nul. Par ailleurs il est impératif de gagner en confiance en soi.

Je reprends plus lentement.
Pour compter les idempotentes, je compte séparément celles où f(E) est réduit à un élément, puis celles où f(E) est de cardinal 2, etc. jusqu'à celle où f(E) est de cardinal n. Ce qui revient à faire ta deuxième question avant la première, mais dans le but de résoudre la première (je pense que l'on n'a pas le choix).

Premier cas : f(E) est un singleton {a}. Cela signifie que f est constante :
f(x)=a pour tout x de E.
Il y a n choix pour la constante a, donc n applications idempotentes possibles de ce type.

Deuxième cas : f(E)={a,b}. On a alors f(a)=a, f(b)=b et chacun des (n-2) autres éléments de E a pour image a ou b. On a donc 2^(n-2) possibilités pour les images de ces n-2 éléments. Mais il faut aussi tenir compte des choix possibles de a et b (2 éléments parmi n donc choix). Ainsi il y a applications idempotentes de ce type.

On continue ainsi : pour f(E) de cardinal k, il y a applications idempotentes.

Jusqu'au cas f(E)=E pour lequel il y a une seule application idempotente : l'identité de E.

Tu additionnes ces différents nombres et tu obtiens le nombre total d'applications idempotentes de E dans E (formule donnée dans l'autre message).