Bonjour
Je vous propose l'exo de colle de maths que j'ai eu à ma derniere colle de maths. Si vous réussissez, c'est que vous êtes franchement tres tres fort.
Soit M l'ensemble des entiers qui ne sont pas des carrés.
Expliciter la bijection strictement croissante de N (ensemble des entiers naturels) ds M.
Voila
Exo de colle tres délicat
12 messages
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par yos » 24 Déc 2005, 14:37
Il s'agit ici de trouver la valeur du nième entier naturel qui n'est pas un carré.
U0=2
U1=3
U2=5
U3=6
Un=??
On veut une formule quoi !!
U0=2
U1=3
U2=5
U3=6
Un=??
On veut une formule quoi !!
par hans » 24 Déc 2005, 14:57
Marrant mais tu ne devrais pas dire ca: tout exercice est facile pour certains, et quelque soit ton niveau il y aura toujours des gens 10 fois plus forts que toi.
Moi-meme je suis loin de me considérer comme très fort.
Je te propose
f(n)=n+p si p^2-(p-1)<= n <(p+1)^2-p
On a p^2+1<=f(n)<(p+1)^2 par définition et
en prenant n entre p^2-(p-1) et (p+1)^2-p on a bien tous les éléments de cet intervalle.
f est donc une surjection de N* dans M et une bijection car elle est injective (car strictement croissante)
Il ne reste plus qu'à construire une bijection de N dans N* (x->x+1) et à composer ce que jaurais fait si javais vu que cétait N et pas N*
Moi-meme je suis loin de me considérer comme très fort.
Je te propose
f(n)=n+p si p^2-(p-1)<= n <(p+1)^2-p
On a p^2+1<=f(n)<(p+1)^2 par définition et
en prenant n entre p^2-(p-1) et (p+1)^2-p on a bien tous les éléments de cet intervalle.
f est donc une surjection de N* dans M et une bijection car elle est injective (car strictement croissante)
Il ne reste plus qu'à construire une bijection de N dans N* (x->x+1) et à composer ce que jaurais fait si javais vu que cétait N et pas N*
par dilzydils » 24 Déc 2005, 16:05
Impressionnant hans!
Tu es sur la bonne voie.
Comment as-tu pensé encadrer f(n) et chercher une formule explicite pour ses "gendarmes" plutôt qu'expliciter directement f(n)?
Tu es sur la bonne voie.
Comment as-tu pensé encadrer f(n) et chercher une formule explicite pour ses "gendarmes" plutôt qu'expliciter directement f(n)?
par yos » 24 Déc 2005, 17:30
Je propose n+1+E[rac[n+1+rac(n+1)]]
où E est la partie entière, rac est est la racine carrée.
où E est la partie entière, rac est est la racine carrée.
par dilzydils » 24 Déc 2005, 18:12
Cmt tu prouves ca?
En colle, on s'est arrêté à exprimer p en fonction de n où p est un entier vérifiant: p^2
En colle, on s'est arrêté à exprimer p en fonction de n où p est un entier vérifiant: p^2
par yos » 24 Déc 2005, 23:09
1) obtention par tatonnements trop longs à expliquer.
2) Pour prouver que ça marche, il faut constater que la différence entre deux termes consécutifs est 1 ou 2. Et identifier à quel moment c'est 1 et à quel moment c'est 2. Tu te retrouves à encadrer n comme l'a fait hans.
2) Pour prouver que ça marche, il faut constater que la différence entre deux termes consécutifs est 1 ou 2. Et identifier à quel moment c'est 1 et à quel moment c'est 2. Tu te retrouves à encadrer n comme l'a fait hans.
par hans » 25 Déc 2005, 13:38
Franchement réjouis-toi cest super davoir des exos difficiles en colle: parfois on avait des exos du Hprépa , mais les touts premiers numéros, que du calcul aucun intéret.
par Wutang » 26 Déc 2005, 03:52
Tres joli petit probleme :++:
Il faut etre ravi d'avoir de si beaux sujets, en effet, que de perdre son temps dans des calculs a n'en plus finir.
:jap:
Il faut etre ravi d'avoir de si beaux sujets, en effet, que de perdre son temps dans des calculs a n'en plus finir.
:jap:
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