Anneaux

par **ThSQ** » 08 Juin 2008, 09:15

Maxmau a écrit:S=k[X,Y]/ est isomorphe à k[Z] et quainsi S est principal.

C'est ce que j'avais dit (post #4) mais abcde33 a hurlé alors j'ai pas insisté mais ça parait assez clair.

par **abcd22** » 08 Juin 2008, 12:37

L'énoncé ne dit pas de montrer que S est isomorphe à k[X] (ce qui est faux), ni de montrer qu'il est principal, apprenez à lire.

par **ThSQ** » 08 Juin 2008, 13:47

abcd22 a écrit:L'énoncé ne dit pas de montrer que S est isomorphe à k[X] (ce qui est faux), ni de montrer qu'il est principal, apprenez à lire.

:ptdr: :arme:

Pourquoi il n'est pas isomorphe à k[X] ? Où est la faille dans l'argument donné par Maxmau ?

par **abcd22** » 08 Juin 2008, 14:45

ThSQ a écrit:Pourquoi il n'est pas isomorphe à k[X] ?

1) Pour la n-ième fois, la question b n'est pas « montrer que S est isomorphe à k[X] », si on avait voulu demander ça on aurait écrit « S » dans la question et pas « le sous anneau de S engendré par k et x ».
2) On montre dans la question b que « tout élément de S s'écrit de manière unique sous la forme p0(x) +p1(x)y », intuitivement et même si on peut avoir des intuitions fausses, ce n'est pas très compatible avec S isomorphe à k[X]...
3) S est un corps. Ça se démontre en utilisant une identité de Bezout, et ça vient du fait que Y² - X est irréductible, encore une fois, ça n'a aucun rapport avec la question b.
4) S'il existe un isomorphisme d'anneaux entre un anneau A et un corps K, alors A est un corps.
5) k[X] n'est pas un corps.

Où est la faille dans l'argument donné par Maxmau ?

Le morphisme qu'il donne n'est pas injectif, XY - X^3 est envoyé sur 0 par exemple, alors que sa classe modulo Y² - X n'est pas nulle.

par **ThSQ** » 08 Juin 2008, 15:57

Mais du calme, tu as l'air de te sentir agressé alors qu'on te demande juste des éclaircissements !

Néanmoins certains points me "surprennent" :

Ainsi S est un corps ... et ce grâce à Bezout ... dans K[X,Y] (anneau principal bien connu).

Donc quand on quotiente K[X,Y] par un polynôme irréductible on obtient un corps, c'est ça ? Ça va faire plaisir à K[X,Y]/(X) de savoir qu'il est un corps.

par **abcd22** » 08 Juin 2008, 16:39

abcd22 a écrit:3) S est un corps. Ça se démontre en utilisant une identité de Bezout

Arf, ça marche pas car k[X,Y] n'est pas principal, j'ai mélangé les propriétés des anneaux principaux avec celles des noethériens, c'est donc Maxmau qui raison, reste que l'isomorphisme qu'il donne ne sert à rien pour répondre à la question c qui ne concerne que l'intégrité, et n'est pas montré dans la question b.

par **ThSQ** » 08 Juin 2008, 18:57

abcd22 a écrit:Arf, ça marche pas

On te le fait pas dire (effet si, juste un peu) :lol3:

Peut-être qu'un soupçon de courtoisie et un petit peu de retenue dans les affirmations péremptoires ....

Quant à l'intégrité elle peut découler du fait que K[X] est intègre, même si c'est un peu tiré par les cheveux ici.

par **Maxmau** » 08 Juin 2008, 19:48

abcd22 a écrit:1)
Le morphisme qu'il donne n'est pas injectif, XY - X^3 est envoyé sur 0 par exemple, alors que sa classe modulo Y² - X n'est pas nulle.

après cette polémique intéressante,
une simple remarque: XY - X^3 n'est pas envoyé sur zéro (du moins je crois...car sur le coup....)
bonsoir à tous
cordialement
Maxmau

par **ThSQ** » 08 Juin 2008, 19:59

Maxmau a écrit:après cette polémique intéressante,
une simple remarque: XY - X^3 n'est pas envoyé sur zéro (du moins je crois...car sur le coup....)
bonsoir à tous
cordialement
Maxmau

On n'est plus à une près :ptdr: :lol3:

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